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1、04.10.2023,1,粒子物理与核物理实验中的数据分析,杨振伟清华大学第二讲：基本概念（续）,艾滋病检验结果再认识,04.10.2023,2,对于个人而言，0.032 是主观概率。如果没有其它额外的信息时，应把 0.001 当作相对频率解释。但是往往在病毒检验前，该相对频率被当作一种信念来处理个人是否患病。,如果还有其它额外的信息，应该给出不同的先验概率。这种贝叶斯统计的特点必定是主观的。例如，受检者有过吸毒历史。一旦验前概率改变，贝叶斯定理就会告诉患病的可能性。对阳性结果的诠释就会改变。,问题：能否构造含自变量的概率？,04.10.2023,3,随机变量与概率密度函数,假设实验结果为 x
2、(记作样本空间中元素)的概率为,那么概率密度函数 p.d.f.定义为 f(x)，它对全部样本空间S 满足,定义累积分布函数为,对于离散型随机变量,分位数、中值与模,04.10.2023,4,分位点 x 定义为随机变量 x 的值，它使得,这里 0 1。因此可以容易求出分位点,随机变量 x 的中值定义为,随机变量 x 被观测到大于或小于中值的概率是相等的。,模定义为使概率密度函数值达到极大的随机变量值。,04.10.2023,5,直方图与概率密度函数,概率密度函数 p.d.f.就是拥有无穷大样本，区间宽度为零，而且归一化到单位面积的直方图。,直方图在统计分析中非常重要，应准确理解它的含义。,04.
3、10.2023,6,多变量情形,如果观测量大于一个，例如 x 与 y,04.10.2023,7,边缘分布,将联合概率密度函数 p.d.f.分别投影到 x 与 y 轴,若 x，y 相互独立，则可构造2-维,04.10.2023,8,条件概率密度函数,利用条件概率的定义，可得到,定义条件概率的密度函数 p.d.f.为,则贝叶斯定理可写为,h(y|x),y,y,x,04.10.2023,9,名词总汇,随机事例,概率,条件概率,相对频率与主观概率,贝叶斯定理,随机变量,概率密度函数,条件密度函数,直方图,04.10.2023,10,问题,条件概率,如果 A 与 B 相互独立，则从文恩图上得到,因此,0
4、4.10.2023,11,解答：概率都是条件概率,由柯尓莫哥洛夫公理，我们定义了概率 P(A)。,因此，所有概率在实际应用中都是条件概率。,04.10.2023,12,解答：互斥与相互独立,互斥的定义为,也就是两个事例的定义没有交集。所给出的推论为,相互独立的定义为,因此，根据定义两个相互独立的事例不意味着是互斥的。前面的问题属于把两者定义混淆了。,04.10.2023,13,证明举例：事例与逆事例,如果 A 是在 S 中的任意一个事例，则,证明：由于 A 与 根据定义是互斥的，并且从文恩图得到,04.10.2023,14,举例：检查给定概率的合理性,如果一个实验有三种可能并且互斥的结果 A，
5、B 和 C，检查下列各种情况给出的概率值是否是合理的：,结论：只有1）与4）是合理的。,评论：作为一个合格的实验研究人员，一定要具备判断 结果是否合理的能力！,04.10.2023,15,举例：检查经验概率密度函数,实验上经常经验性地从直方图中给出概率密度函数（例如通过拟合直方图分布等等），但是需要确定得到的函数是否满足概率密度函数的定义，例如,试判断哪一个可以用作概率密度函数？,答案：1）有负概率值；2）累积函数值大于1。因此，两者在给定的随机变量范围内都不能用作概率密度函数。,04.10.2023,16,数据分析中的问题,粒子与核物理实验中对动量的测量通常是分别测量,在已知两分量测量值的概
6、率密度函数情况下，总动量为,如何导出总动量的测量值的概率密度函数？,是研究随机变量函数的问题。,04.10.2023,17,一维随机变量的函数,随机变量的函数自身也是一个随机变量。,假设 x 服从 p.d.f.f(x)，对于函数 a(x)，其p.d.f.g(a)为何？,04.10.2023,18,函数的逆不唯一情况,假如 a(x)的逆不唯一，则函数的 p.d.f.应将 dS 中对应于 da 的所有 dx 的区间包括进来,04.10.2023,19,多维随机变量的函数,考虑随机矢量 与函数，对应的 p.d.f.,如果两个独立变量 x 与 y，分别按 g(x)与 h(y)分布，那么函数 z=xy
7、应具有何种形式？,多维随机变量的函数(续一),04.10.2023,20,记作 g 与 h 的Mellin卷积,如果函数为 z=x+y，则应具有何种形式？,记作 g 与 h 的傅立叶卷积,注意：通常将两者皆称为 g 与 h 的卷积，已相同记号表示。,多维随机变量的函数(续二),04.10.2023,22,期待值,考虑具有 p.d.f.的随机变量，定义期待(平均)值为,注意:它不是 的函数，而是 的一个参数。,通常记为：,对离散型变量，有,对具有 p.d.f.的函数，有,方差定义为,通常记为：,标准偏差：,04.10.2023,23,协方差与相关系数,定义协方差(也可用矩阵表示)为,相关系数定义
8、为,如果 x，y 独立，即,则,04.10.2023,24,举例：样本平均值,假设实验上研究一核素衰变寿命，在探测效率为100%的情况下，每次探测到的寿命为 ti，一共测量了 n 次，求平均寿命（也就是寿命的期待值）。,根据离散型期待值的定义,问题的关键是 ti 的概率密度函数是什么？,根据概率的相对频率定义，在 n 次测量中出现 ti 频率为一次,因此，期待值（或平均寿命）为,思考：如果频率为 mi 次，结果会不同吗？,04.10.2023,25,误差传递,假设 服从某一联合 p.d.f.，我们也许并不全部知道该函数形式，但假设我们有协方差,和平均值,现考虑一函数，方差 是什么？,将 在 附
9、近按泰勒展开到第一级,然后，计算 与,04.10.2023,26,误差传递(续一),由于,所以利用泰勒展开式可求,04.10.2023,27,误差传递(续二),两项合起来给出 的方差,如果 之间是无关的，则，那么上式变为,类似地，对于 组函数,04.10.2023,28,误差传递(续三),或者记为矩阵形式,注意：上式只对 为线性时是精确的，近似程度在函数非线性区变化比 要大时遭到很大的破坏。另外，上式并不需要知道 的 p.d.f.具体形式，例如，它可以不是高斯的。,04.10.2023,29,误差传递的一些特殊情况,注意在相关的情况下，最终的误差会有很大的改变，例如当,这种特征有时候是有益的：
10、将公共的或难以估计的误差，通过适当的数学处理将它们消掉，达到减小误差的目的。,04.10.2023,30,坐标变换下的误差矩阵,实验上经常通过测量粒子在探测器中各点的击中坐标（x,y）来拟合在极坐标下的径迹（r,）。通常情况下，（x,y）的测量是不关联的。,由于,因此，坐标变换后的误差矩阵为,04.10.2023,31,大亚湾反应堆中微子实验,04.10.2023,32,反应堆中微子,反应堆能产生大量反电子型中微子,3 GW 热功率反应堆,中微子几乎无损穿透物质,假设产生的中微子以球面波传播，那么在任一地方任一给定面元的中微子流强为,04.10.2023,33,大亚湾中微子振荡,中微子振荡,中
11、微子在运动过程中自己不断改变形态,测量中微子形态随运动距离的改变,中微子形态随运动距离的改变理论预言,04.10.2023,34,如何保证1%精度？,测量中微子振荡的影响,那一种方案更易实现1%精度的测量？为什么？,04.10.2023,35,不同坐标系下相关性的变化,通过转动坐标，随机变量的相关性会发生改变。,显然，通过将坐标系转动 450，上面的相关性在新坐标系下消失。,随机变量作正则变换去除相关性,04.10.2023,36,对应的协方差矩阵为,非线性情况,假设有 n 个随机变量 x1,xn 以及协方差矩阵Vij=covxi,xj，可以证明有可能通过线性变换重新定义 n 个新的变量 y1
12、,yn 使得对应的协方差矩阵Uij=covyi,yj非对角元为零。令,04.10.2023,37,变换后的变量协方差矩阵对角化,为了使协方差矩阵 U 对角化,可先确定协方差矩阵 V 的本征列矢量，i=1,n。解方程,变换矩阵 A 由本征矢量 给出，即,04.10.2023,38,正则变换后变量的协方差矩阵,因此，正则变换的协方差矩阵为,变量作正则变换后，其方差由原协方差矩阵 V 的本征值给出。,对应于矢量的转动不改变模的大小。|y|2=yTy=xTATAx=|x|2,尽管非关联变量经常容易处理，但是对经过变换的变量的理解不一定容易。,带电粒子在闪烁体的射程,04.10.2023,39,在原来的定义下，可以得到粒子射程随动量大小的变化关系。通过转动变换，粒子的射程与动量发生了改变，无物理含义，但是提供了一个很好的粒子类型甄别变量。,04.10.2023,40,小结,概率随机变量随机变量函数误差传递,定义：柯尔莫哥洛夫公理+条件概率解释：频率或信心程度贝叶斯定理,概率密度函数 p.d.f.累积分布函数联合，边缘与条件的 p.d.f.,函数自身也是随机变量 几种方法找出 p.d.f.,函数方差的计算方法是基于一阶泰勒展开，只对线性方程精确。,
