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1、1,层次分析法（AHP）,2,层次分析法（AHP）,层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP)是由美国运筹学家T.L.沙旦于20世纪70年代提出的，是一种解决多目标复杂问题的定性与定量相结合的、系统化的、层次化的决策分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。,3,层次分析法（AHP）,一、问题的提出 例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套候选的房子A、
2、B、C，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢？为简化问题，我们将评判房子满意程度的10个标准归纳为4个：1、住房的地理位置2、住房的交通情况3、住房的附近的商业、卫生、教育情况4、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境5、建筑结构6、建筑材料7、房子布局8、房子设备9、房子面积10、房子每平方米建筑面积的价格,1、房子的地理位置与交通,2、房子的居住环境,3、房子的布局、结构与设施,4、房子的每平方米建筑面积的单价,4,层次分析法（AHP）,选房的思维归纳过程：（1）将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；（2）通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权
3、重。（3）将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,5,层次分析法（AHP）,二、层次结构图 该问题的层次结构图如下图所示：,购买房子A,购买房子B,购买房子C,目 标 层,标 准 层,决策方案层,6,层次分析法,三、标度及两两比较矩阵 相对重要性标度：各个标准或在某一标准下各方案两两比较求得的相对权重。设某层有个因素，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。上述比较是两两因素之间进行的比较，用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则,称为两两比较矩阵。,7,层次
4、分析法,三、标度及两两比较矩阵 Saaty等人提出19尺度 取值1，2，9及其互反数1，1/2，1/9。,表16-11,8,层次分析法,由上述定义知，两两比较矩阵 满足以下性质：（1）（2）（3）,则称为正互反阵。,9,层次分析法,四、两两比较矩阵一致性检验 为什么要进行一致性检验？因为两两比较矩阵的元素是通过两个因素两两比较主观得到的，当因素较多时，很有可能得到不一致的结论。两两比较不一致的情况：,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,10,层次分析法,考察完全一致的情况：,一致性的性质：,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向
5、量,由矩阵理论知：为特征向量，为特征值。,11,层次分析法,检验判断矩阵的一致性指标：,12,层次分析法,如我们用单一标准“房子的地理位置及交通状况”来评估三个方案，从两两比较的方法得出两两比较矩阵，如下表所示。,五、求各因素权重的过程 求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法等，这里以选择房子的决策为例介绍规范列平均法。第一步,先求出两两比较矩阵的每一元素每一列的总和，如表16-13所示。,正互反阵,13,层次分析法,第二步,把两两比较矩阵的每一元素除以其相对应列的总和，所得商称为标准两两比较矩阵，如表16-14所示。第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这些平均值就是各方案
6、在地理位置及交通方面的权重，如表16-15所示。,表16-15,表16-13,表16-14,我们称0.593，0.341，0.066为房子选择问题中地理位置及交通方面的特征向量。,14,层次分析法,同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房子每平方米单价方面的两两比较矩阵如表16-16所示。,表16-16,同样，我们可以从表16-16的两两比较矩阵求得房子A、B、C三个方案在居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），即这三个方面的特征向量，如表16-17所示。,表16-17,15,层次分析法,另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里的相对重要程度，即要取得每个
7、标准相对的权重，即标准的特征向量。四个标准的两两比较矩阵如表16-18所示。,表16-18,通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量如下所示：0.398，0.218，0.085，0.299。即地理位置及交通相对权重为0.398，居住环境相对权重为0.218，结构布局设施相对权重为0.085，每平米单价相对权重为0.299。,16,层次分析法,五、两两比较矩阵一致性检验 我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检验表16-12中由“地理位置及交通”这一标准来评估房子A、B、C三个方案所得的两两比较矩阵。检验一致性由五个步骤组成：第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的
8、向量称之为赋权和向量，在此例中即：,17,层次分析法,第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向量的分量，即第i个赋权和向量的分量除以第i个特征向量的分量，在本例中有：,第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为 在本例中有：,第四步：计算一致性指标CI:n为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案的数目，即为3.在本例中，我们得到：,第五步：计算一致性率CR:,18,层次分析法,在上式中，RI是自由度指标，作为修正值，见表16-19。,表16-19,在本例中可算得：CR=0.01/0.58=0.017。一般规定当CR0.1时，认为两两比较矩阵的一致性可以接受，否则就认为两两比较矩阵一致性
9、太差，必须重新进行两两比较判断。在本例中，CR=0.0170.1，所以“地理位置及交通”两两比较矩阵满足一致性要求，其相应求得的特征向量为有效。同样，我们可以通过计算“居住环境”、“结构布局和设施”、“每平米单价”以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率CI值，可知他们都小于等于0.10，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应的特征向量都有效。,19,层次分析法,六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序 在上面我们已经求出了四个标准的特征向量，以及在四个单一标准下的三个购房方案的特征向量，如表16-20所示。,表16-20,各方案的总得分为：房子A方案：0.398*0.593+0.218*0.1
10、23+0.085*0.087+0.299*0.265=0.349房子B方案：0.398*0.341+0.218*0.320+0.085*0.274+0.299*0.655=0.425房子C方案：0.398*0.066+0.218*0.557+0.085*0.639+0.299*0.080=0.226,20,层次分析法,通过比较可知房子B的得分（权重）最高，房子A的得分次之，而房子C的得分最少，故应该购买房子B，通过权衡知道这是最优方案。,21,七、层次分析法的基本步骤:,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素
11、基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,层次分析法,22,八、层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、
12、判断力强的专家给出。,层次分析法,23,例1 国家实力分析,例2 工作选择,24,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,25,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,26,例4 科技成果的综合评价,27,九、层次分析法的优缺点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法,（1）层次分析法的优点：,28,层次分析法,（2）层次分析法的局限：,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略该法中的比较、判断以及结果的计算过程
13、 都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。,主观建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就 使得结果难以让所有的决策者接受。当然 采取专家群体判断的办法是克服这个缺点 的一种途径。,29,十、正互反阵最大特征值和特征向量实用算法,在AHP方法中，用定义计算两两比较矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；两两比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。故用近似计算即可。主要有幂法、和法、根法。,层次分析法,30,定理：对于正矩阵 A（A的所有元素为正）,1）A 的最大特征根为正单根；,2）对应正特征向量 w（w的所有分量为正）；,3
14、）,其中,是对应 的归一化特征向量。,层次分析法,31,1、幂法 步骤如下：,a)任取 n 维归一化初始向量,b)计算,c)归一化,，即令,层次分析法,32,d)对于预先给定的精度，当下式成立时,即为所求的特征向量；否则返回b；,e)计算最大特征值,这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性由定理的3）保证。,层次分析法,33,2、和法 步骤如下：,a)将A的每一列向量归一化得,b)对,c)归一化,按行求和得,d)计算,层次分析法,e)计算,，最大特征值的近似值。,34,3、根法,步骤与和法基本相同，只是将步骤 b 改为对 按行求积并开n次方，即,三方法中，和法最为简便。看下列例子。,层次分析法,35,列向量归一化,求和,归一化,精确计算，得,
