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1、第16章 结构的极限荷载,16-1 概述,16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态,16-3 超静定梁的极限荷载,16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理,16-5 刚架的极限荷载,16-7 小结,16-6 用求解器求极限荷载(略),16-1 概 述,弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。,2.塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。,结构塑性分析中，为简化计算将材料简化为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示：,OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系AB段：塑性
2、流动状态，一个应力对应不同的 应变。,以理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯曲状态为例：,随M的增大，梁截面应力的变化如图所示：,图(b)：弹性阶段，弯矩M为：,图(c)：弹塑性阶段，y0部分为 弹性区，称为弹性核。,图(d)：塑性流动阶段，y00。弯矩M为：,16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态,塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。,塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角单向铰。,图(a)为只有一个对称轴的截面,图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心；,图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化；,图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。A1(受拉区面积)=A2
3、(受压区面积)，Mu为,梁在横向荷载作用下的弯曲问题理想弹塑性材料,加载初期：各截面的MMs。继续加载，直到某个截面M=Ms，弹性阶段终结。此时的荷载弹性极限荷载FPs。,荷载FPs：梁中形成塑性区。,加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。承载力无法增加极限状态 此时的荷载极限荷载FPu。,梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利用平衡方程求出。,例16-1 设有矩形截面梁如图(a)，试求极限荷载FPu。,解：由M图可知，塑性铰将在跨中 截面形成，截面弯矩=Mu，如 图(b)。,由静力条件：,得极限荷载：,1.超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点,静定梁：只要一个截面出现塑性铰，
4、梁就成为机构，丧 失承载力以至破坏。超静定梁：具有多与约束，必须出现足够多的塑性铰，才 能使其成为机构，丧失承载力以至破坏。,以图(a)所示等截面梁为例说明。,图(b)为弹性阶段(FP FPs)的M图，截面弯矩最大。,16-3 超静定梁的极限荷载,FPFPs后，塑性区在A附近形成并扩大，在A截面形成第一个塑性铰，M图如图(c)。,FP继续增加，荷载增量引起的弯矩增量图相应于简支梁的弯矩图，如图(d)。第二个塑性铰出现在C截面，梁变为机构。,由平衡条件,得极限荷载,利用虚功原理求FPu，图(e)为破坏机构的一种可能位移。,外力作功为,内力作功为,由虚功方程,得,超静定结构极限荷载计算的特点（1）
5、只需考虑最后的破坏机构；（2）只需考虑静力平衡条件；（3）不受温度变化和支座位移等的影响。,例16-2 试求图(a)所示变截面梁的极限荷载。,（1）当截面D、B出现塑性铰时如图(b),此时M图如图(c)，MA=3Mu,则此破坏机构实现的条件是,由图(b)的可能位移列虚功方程,得极限荷载,（2）当截面D、A出现塑性铰时如图(a),截面D的弯矩达到极限值Mu截面A的弯矩达到极限值,弯矩图如图(b)，截面B的弯矩,若MBMu，此破坏机构不能出现，此时,即此破坏机构的实现条件是：,由图(a)的可能位移列虚功方程,得极限荷载,3.讨论,如果,图(a)、图(b)所示的破坏机构都能实现。此时，A、B、D三个
6、截面都出现塑性铰。,可得极限荷载,2.连续梁的极限荷载,条件：梁在每一跨度内为等截面；荷载的作用方向相同，并按比例增加。,结论：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构；如图(a)、(b)不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图(c),连续梁极限荷载的计算方法：1）对每一单跨破坏机构分别求 出相应的破坏荷载；2）取其最小值即为极限荷载。,例16-3 图(a)所示连续梁中，每跨为等截面梁。AB和BC跨的正极限 弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩 为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载qu。,解：AB跨破坏时如图(b),得,BC跨破坏时如图(c),得,CD跨破坏时如图(d
7、),得,极限荷载,比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示；荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。,假设条件：材料是理想弹塑性的；截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等；忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。,结构的极限受力状态应满足的条件：（1）平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；（2）内力局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；（3）单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。,16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理,可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载 值，用 表示。,可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找到
8、某一内力 状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用 表示。,可破坏荷载 只满足平衡条件和单向机构条件。可接受荷载 只满足平衡条件和内力局限条件。,极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件；极限荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载。,（1）基本定理：可破坏荷载 恒不小于可接受荷载，即,（2）唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。,（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限；即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。,（4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。,由上限定理和下限定理，可得出精确解的上下限范围
9、，取极小值便得到极限荷载的精确解；唯一性定理可配合试算法来求极限荷载。,例16-4 试求图(a)所示梁在均布荷载作用下的极限荷载qu。,解：梁处于极限状态时，A端出现塑性 铰，另一个塑性铰C有待确定。,图(b)为一破坏机构，塑性铰C的坐标为x。相应的可破坏荷载为。,由虚功方程,得,令,得,解,由x2求得极限荷载,基本假设：（1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的 截面），其余部分仍为弹性区。（2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点 处。（3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。（4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。,增量变刚度法的基本思路：把非线性问题转
10、化为分阶段的几 个线性问题。,16-5 刚架的极限荷载,方法的特点：（1）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算增量法；（2）对每个荷载增量按弹性方法计算，但不同阶段采用不同的刚 度阵变刚度法。,以图(a)所示超静定梁为例说明。,（1）弹性阶段：从零荷载开始到第一 个塑性铰出现。,FP=1作用下的弯矩图如图(b)。,控制截面A和B的弯矩组成弯矩向量：,与极限弯矩的比值为：,最小比值发生在A点，其值为：,最小比值用FP1来表示，当荷载增大到,相应的弯矩向量M1为：,当FP=FP1时，截面A出现第一个塑性铰，弹性阶段终结。,（2）一个塑性铰阶段：从第一个塑性铰形成到第二个塑性铰出现,截面A改为
11、单向铰结点，结构修改为如图(a)。第二个塑性铰会出现在截面B。此时所施加的荷载增量为：,荷载增量引起的弯矩增量为：,M2图如图(b),（3）极限状态：出现两个塑性铰后，结 构成为单向机构。弯矩 图如图(c)。,极限荷载FPu为,2.单元刚度矩阵的修正 新的塑性铰出现时，在一些单元中，杆端应修改为铰支端。,图(a)所示单元两端刚结，单元刚度阵已有。,（1）在 端出现塑性铰，如图(b)。,单元刚度阵为：,（2）在 端出现塑性铰，如图(c)。,（2）在 和 端同时出现塑性铰，如图(d)。,3.计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载，荷载用荷载参数FP表示),（1）刚架承受荷载FP=1。形成整体刚度阵K求
12、刚架的结点位移。由单元刚度阵 各单元杆端力，各控制截面弯矩向量,此时，第一个塑性铰出现在单元e1的 端，第一阶段结束。,（3）e1单元的单元刚度阵修改为，整体刚度阵修改为K2。,（4）检验K2是否奇异，0，结构未达到极限状态。修改后的 结构承受FP=1，由K2 求刚架的结点位移，由 或 各 单元杆端力。各控制截面弯矩向量为,（5）第二阶段终结时,各控制截面的弯矩增量,荷载的累加值,弯矩的累加值,此时，第二个塑性铰出现在单元e2的 端，第二阶段结束。,（6）重复第(3)、(4)、(5)步的计算，直到第n阶段=0为止，结 构成为机构，达到极限状态。极限荷载为：,例16-6 试用增量刚度法求图(a)
13、所示刚架的极限荷载。,解（1）第一阶段计算：图如图(b)。,第一个塑性铰出现在结点D的柱端截面。第一阶段终结时的荷载为：,M1图如图(c)所示。,（2）第二阶段计算：截面D改为铰结 点，并修改刚度阵。图如图(a)。,E截面的 比值最小。,第二阶段终结时,荷载,弯矩的累加值,如图(b),M2图如图(c)，第二个塑性铰在E截面出现。,（3）第三阶段计算：截面E改为铰结 点，并修改刚度阵。图如图(a)。,A截面的 比值最小。,第三阶段终结时,如图(b),荷载,弯矩的累加值,M3图如图(c)，第三个塑性铰在A截面出现。,（4）第四阶段计算：截面A改为铰结 点，并修改刚度阵。图如图(a)。,C截面的 比值最小。,第四阶段终结时,如图(b),荷载,弯矩的累加值,M4图如图(c)，第四个塑性铰在C截面出现。,（5）极限状态 截面D、E、A、C皆改为铰结点，并修改刚度阵。此时K阵为奇异阵刚架变为机构极限状态。FP4即为极限荷载：,16-7 小结,1 比例加载时，判定极限荷载的一般定理是计算极限荷载的理论依据，一共有4个，要了解他们的应用条件,2 刚架极限荷载的计算方法还有机构法、试算法、机构叠加法等方法。,
