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1、,8.3.5 二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、f(x)=Pm(x)elx 型,二、f(x)=elx Pl(x)cos w x+Pn(x)sin w x 型,特解形式,特解形式,二阶常系数非齐次线性微分方程,是形如 y+py+qy=f(x)的方程，其中p、q 是常数,二阶常系数非齐次线性微分方程：,二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构：,设齐次方程y+py+qy=0的通解为yY(x)，非齐次方程y+py+qy=f(x)的一个特解为yy*(x)，则非齐次方程的通解为,yY(x)y*(x),一、f(x)=Pm(x)elx 型,下面求方程y+py+qy=Pm(x)el
2、x，的特解y*，其中Pm(x)是m次多项式,可以猜想，方程的特解y*应具有与Pm(x)elx类似的函数形式,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，代入方程得Q(x)+2lQ(x)+l2 Q(x)elx+pQ(x)+lQ(x)elx+qQ(x)elx=Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)elx=Pm(x)elx，于是有等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x),设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)
3、,(1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则l2+pl+q0要使上式成立，Q(x)应设为m 次多项式：Q m(x)=b0 xm+b1xm-1+bm-1x+bm，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，bm，并得所求特解 y*=Qm(x)elx,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x),(1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx,(2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则l2+pl+q=0，但2l+p0，要使等式Q(x
4、)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)成立，Q(x)应设为m+1 次多项式：Q(x)=xQm(x)，Q m(x)=b0 xm+b1xm-1+bm-1x+bm，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，bm，并得所求特解 y*=xQm(x)elx,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x),(1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx,(2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)elx,(3)如果
5、l 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则l2+pl+q=0，2l+p=0，要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)成立，Q(x)应设为m+2 次多项式：Q(x)=x2Qm(x)，Q m(x)=b0 xm+b1xm-1+bm-1x+bm，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，bm，并得所求特解 y*=x2Q m(x)elx,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x),(1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)
6、elx,(2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)elx,(3)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则 y*=x2Q m(x)elx,二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=Pm(x)elx有形如y*=xk Qm(x)elx的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，而k 按l 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,特解形式：,解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)是Pm(x)elx 型(其中Pm(x)3x1，l0),例1 求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解,与所给方程对应的齐次方程
7、为y-2y-3y=0，它的特征方程为r2-2r-3=0,把它代入所给方程，得3b0 x2b03b13x1，比较两端x同次幂的系数，得,由于l0不是特征方程的根，所以应设特解为y*b0 xb1,得所给方程的一个特解为,解 这里f(x)是Pm(x)elx 型(其中Pm(x)x，l2),例2 求微分方程y-5y+6y=xe2x 的通解,所给方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0，特征方程为：r2-5r+6=0，,特征方程的根为：r12，r23齐次方程的通解为：YC1e2xC2e3x,把它代入所给方程，得2b0 x2b0b1x 比较两端 x 同次幂的系数，得,求得所给方程的一个特解为,由于l 2 是特
8、征方程的单 根，所以应设方程的特解为y*x(b0 xb1)e 2x,从而所给方程的通解为,二、f(x)=elx Pl(x)cos w x+Pn(x)sin w x 型,我们有如下结论：如果f(x)=elx Pl(x)cos w x+Pn(x)sin w x，则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)的特解可设为y*=xk el xR(1)m(x)cos w x+R(2)m(x)sin w x，其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式，m=maxl，n，而k 按l+iw(或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,特解形式：,例3 求微分方程y+y=xcos
9、 2x的一个特解,解 f(x)是elx Pl(x)cos w x+Pn(x)sin w x 型的，其中l0，w2，Pl(x)x，Pn(x)0 与所给方程对应的齐次方程为 yy0，它的特征方程为 r210liw2i 不是特征方程的根，所以应设特解为,于是求得一个特解为,y*(axb)cos 2x(cxd)sin 2x把它代入所给方程，得(3ax3b4c)cos 2x(3cx3d4a)sin 2xxcos 2x比较两端同类项的系数，得,y*=xk el xR(1)m(x)cos w x+R(2)m(x)sin w x，,例 4方程 y+4y=x+1+sinx 的通解.,解自由项 f(x)=x+1+sinx可以看成 f1(x)=x+1 和 f2(x)=sin x 之和，,y+4y=x+1，,y+4y=sin x.,和,(1),(2),易求得方程(1)的特解为,方程（2）的特解为,的特解.,所以分别求方程,所以原方程的特解为,原方程所对应的线性齐次方程为 y+4y=0，其通解为,Y=C1cos 2x+C2sin 2x，,故原方程的通解为,
