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1、第六章 鞅和鞅表示,第一节 离散鞅,第二节 连续时间鞅,第三节 鞅轨迹的特征,第四节 鞅举例,第五节 鞅表示,第一节 离散鞅,一、离散鞅的定义及性质,定义1,（1）,（2）,离散鞅序列,简称为鞅,首页,注,无后效性,鞅的直观背景解释,设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为,表示在已知前n年的赌本 的条件下，第n+1年的平均赌本。,而鞅,则表示这种赌博使第n+1年的平均赌本仍为第n年的赌本，这种赌博称为公平赌博。,首页,定义2,（1）,（2）,简称 为鞅,（3）,首页,定理1,充分性显然,证,必要性用归纳法来证,由假设知,（1）,则有,首页,性质1,常数序列 为鞅。,证,性质2,即,证,依
2、次递推，可得,首页,例1,令,且对任意 有,证,由条件期望的性质可得,且,所以,首页,例2,令,证,（1）,（2）,所以,首页,定义3,（1）,（2）,简称 为上鞅,（3）,二、上、下鞅的定义及性质,类似,下鞅,首页,关于上、下鞅的的直观解释：,上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；,下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。,性质3,为鞅的充分必要条件是，既为上鞅也为下鞅。,性质4,上鞅,下鞅,下鞅,上鞅,首页,性质5,上鞅,下鞅,证明,同定理1类似。用数学归纳法,首页,性质6,上鞅,下鞅,证,由性质5得
3、,上鞅,首页,上鞅,性质7,、上鞅,下鞅,、下鞅,证,上鞅,首页,上鞅,性质8,上鞅 下鞅,证,下鞅,下鞅 上鞅,由性质4及性质7立即可得结果,首页,性质9,鞅,下鞅,证明,例3,设，是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵 满足,首页,其中,则,（1）,（2）,（3）,首页,证,设,其中,所以,故,下鞅,00=0,上鞅,鞅,首页,三、停时,定义5,也即,简称 为停时,首页,停时的直观背景解释：,设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为，那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。,停时的性质表示 这一事件只依赖于n时刻以前（包括n时刻）的赌本，而与
4、将来的赌本 无关，即赌徒在时刻n是否停止赌博，只依赖于他过去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。,定理2,下列命题等价：,首页,（1）,（2）,（3）,证明,（1）与（2）的等价性,一方面,另一方面,首页,例4,（2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得,证,所以 为停时。,首页,令,例5,即 为首次进入A的时刻，,则 是停时。,证,注,若令 为最后进入A的时刻，则 不是停时。,原因是要确定，不仅要看 是否取值在A中，还需知道全部 的情况。,返回,首页,第二节 连续时间鞅,一、定义,设 表示观测由时间t为连续时间随机过程，,表示随时间流逝可得到的一系列信息集,信息集满足,过滤,如果 的值在每
5、一 时包含于信息集 中，,则称,适应于,即表示,给出信息集，就会知道价值,首页,使用不同的信息集 就会产生顺序 的不同的预期。,从而,可用条件期望表示成：,设 是一个随机过程，,鞅,信息集为 和概率为 P,即未被观测的未来价值的最好预测是 的最近观测,称过程 是鞅,首页,鞅过程的基本特征,鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全不可测的随机变量。,鞅的未来变化的方向是不可能预测的。,换句话,例如,设 是一个鞅,反之,如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长或短期趋向，则这个过程不是鞅。,首页,鞅过程重要特征,一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，这个过程就不再是鞅
6、。,若一过程 不是鞅，就能通过修改相关的概率标准P并且使 称为鞅。,二、鞅在资产定价方面的应用,反之有,1,通常贴现债券的价格随时间而增加，平均起来是上涨,则有,债券的价格,即贴现债券价格的运动不是鞅,首页,2,通常一风险股票会有一正的期望收益。,其中 是一个正的期望收益率,股票价格,即风险股票不是鞅,对于一小间隔 可大体写成,3,期权,期权有时间价值，并且随时间流逝欧式期权价格会下降。故也不是鞅。,首页,尽管大多数金融资产不是鞅，但可以把它们转化成鞅,4,下鞅转化成鞅方法,第一种,这是围绕趋向的偏离完全不可测，只要减去期望趋向，变形的变量即是鞅。,道布迈耶分解,在一些普通条件下，一任意的连续
7、时间过程能被分解成一个鞅和一个增长（或下降）过程，后部分的消除即可产生鞅。,第二种,找一个与给定的概率P等价的概率，计算新的条件期望，使其成为一个鞅。,首页,债券价格,例如,股票价格,可以找一概率分布 以使债券或股票价格通过无风险利率贴现变成鞅,返回,首页,第三节 鞅轨迹的特征,一、鞅轨迹的描述,则鞅的特征,是小的时间间隔,考虑鞅变化,它意味着鞅的增量是完全不可测的。,首页,则无论 多么小，鞅就会呈现出非常不规则的轨迹。,事实上,若 呈现出任何肉眼能看出的趋势，则就是可测的。,不规则轨迹在两种方式下发生，即连续或跳跃。其对应的是连续鞅和右连续鞅,连续鞅轨迹,连续鞅轨迹是连续的,首页,右连续鞅轨
8、迹,轨迹被偶然的跳跃所干扰，从而使轨迹成为右连续。即在跳跃点是鞅右连续。,连续平方可积鞅,设 是一连续鞅，且具有有限二阶矩：,则称具有有限方差的过程 为连续平方可积鞅。,注,连续平方可积鞅非常接近于布朗运动。,首页,例1,构造一个具有两个相互独立泊松过程的鞅,假设金融市场由“好”和“坏”的消息影响。忽略消息内容，但保留其好或坏的信息。且用,假定到达金融市场的信息与过去完全无关，并且好、坏信息是完全独立的。,假定在一微小间隔 内至多有一个好或坏信息能发生，并且这两种信息发生的概率一样。,即增量变化的概率可表示为,则变量 是鞅,首页,证明,则条件期望,其中,故,即 是鞅。,首页,说明,假设好消息的
9、概率比坏消息的概率大，,则 就不是鞅。,若,则,故 不是鞅。,首页,二、鞅轨迹的特征,定义轨迹的变化,首页,观察 重要特征,首先,即,由于,意味着,首页,有,又因为,即有,故,由于,故有,首页,1,变化 会趋向于无穷大并且连续鞅会变得非常不规则,二次变化 收敛于一定义的随机变量,2,3,所有更高级变化在一些概率情形下会消失,意味着更高级变化并不包括比 更多的信息，即如果人们确信标的的过程是连续鞅，则更高级变化可被忽略。,意味着无论轨迹如何不规则，鞅是平方可积且小于间隔的增量的平方和是收敛。即能被用于一有意义的等式。,意味着在连续平方可积鞅中不是非常有用的实用的量。,鞅轨迹特征,返回,首页,第四
10、节 鞅举例,布朗运动,例1,即,若增量 相互独立，,则有,问 是鞅吗？,首页,由于,即,则在给出的概率分布以及到时间 t 观察到的信息 的期望,故 不是鞅。,首页,说明1,若做新过程,则 是一个鞅。,因为,则 是一个鞅。,首页,此为例3：指数过程,说明2,考虑转换,则此转换能将 变成鞅，,即 是鞅。,首页,平方过程,例2,初始点为,令,问 是鞅吗？,解,首页,这说明 的增量是可测的，故 不是鞅。,可将 转换成是鞅。,说明,若令,则,首页,但由 表示的补偿泊松分布,例4,右连续鞅,所以有一个明显的向上趋势，,即 不是鞅。,就是鞅。,且是方差有限、平方可积鞅。,首页,注,例子再次描述了同一理论,如
11、果一随机过程不是鞅，那么通过抽取一适当的均值就能变成鞅。,在金融市场中，人不能预期所观察市场风险证券的价值能等于由无风险利率贴现的期望价值，这有一个风险溢价。因此，任何风险资产价格，若由无风险利率贴现就不是鞅。但前期讨论表明这样的资产价格或许能被转化成鞅，这样的转换在定价金融资产中非常有用。,返回,首页,第五节 鞅表示,一、例子,若每一时间间隔非常小，且市场是“流动”的，则资产价格就有可能表现出至多一个向上或向下的过程,即 的变化可表示为,并且假设 是相互独立的。,首页,若,特别,则 的期望价值就等于0。,如何构造标的的概率空间：,首先需要构造一个由所有可能价格变化的样本路径或轨迹组成的集合，
12、即样本空间。它的元素由一系列 构成。,问题1,其次定义与这些轨迹有关的概率，当价格变化是相互独立的（且是有限的），则序列的概率是每一价格变化的概率相乘。,如轨迹为,则有,这就解决了资产价格变化的序列。,首页,如,其次,资产价格水平,衍生证券通常写成其本身的价格,就可从随后的变化中得到资产价格的水平,由于 是由 的和构成，那么可以用轨迹 概率的方法得到 的概率分布。,如果所有的 是由+1的变化组成的，即,则概率取,例如,首页,同样,其产出的概率是,一般地,通常价格会落在 之间的某处,如在所有k个增量变化中，有m个+1的变化、个 的变化，,其概率为,此概率为二项分布，当，它收敛于正态分布,首页,问
13、题2,考虑由上式给出的概率的期望：,如果,则,这意味着考虑到包括过去价格变化 的信息以及这个特殊的概率分布而定义的 是鞅。,首页,如果,然而定义中心过程,则 就转成鞅。,说明,提供了一个概率空间的具体的讨论以及如何把概率理论应用于与资产定价有关的各种轨迹。,或,首页,二、道布迈耶分解,考虑一个在任何时间 向上的概率大于向下的概率的情况的特殊资产，以此期望一个在观察轨迹中的向上趋势。,则,意味着,即,又因,其中,首页,因此,一个下鞅可分解成两部分：,第一部分是一个递增的决定变量，,表示的是一种简单的道布迈耶分解得情形,一般地,定理1,把在一个连续间隔的有限时间点上所观察的过程中的向上趋势的下鞅分
14、解成有一个决定趋向和一个鞅。,首页,注,此理论表明即使连续观察的资产价格包含有明显的跳跃和向上的趋势，则通过抽掉一个趋势把它们转换成鞅。如果起初的连续时间过程并不呈现出任何的跳跃，但是连续的，则产生的鞅就会是连续的。,三、道布分解的应用,设,即 如果标的资产价格高于执行价格K，期权的值为 如果标的资产的价格低于K，则期权的价值就是0,由于,所以使用在时间t（）的信息 计算它的预期价值,首页,从而说明确实给出了买权 的公平市场价值。,问：是否有公平的市场价值 等于 的适当贴现价值？,例如,假设使用无风险利率r对 进行贴现，取,则 即是鞅,原因是,或,首页,其中是 一个递增的随机变量，是一个考虑信息集 的鞅。,假设投资者是在风险厌恶者的前提下，对于一个典型的风险资产 有,由于,根据道布迈耶分解可得,表明：如果函数 能很明显的得到，就能得到在时刻 t 时买权的公平市场价值。,问题：是否 在概率P下也是鞅？,返回,首页,
