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1、,复习课,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、空间解析几何内容小结,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1.空间直线与平面的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,2.线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求直线,与平
2、面,的交点.,提示:化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分学,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续、偏导数、全微分,2.几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,(1)分析复合结构,(画变量关系图),(2)正确使用求导法则，如,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,(3)一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4)隐函数求导法（一个方程情形；两个方程情形）,例2.,解:,机动
3、目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设F(x,y)具有连续偏导数,解 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,3、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线的切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),2.极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数的方向导数和梯度,例4 求 grad,解 这里 f(x，y),因为,，,，,所以 grad,例5 设 f(x，y，z)x3xy2z，求grad f(1,1,0),解
4、 grad f(fx，fy，fz)(3x2y2,2xy,1)，于是 grad f(1，1，0)(2,2,1),函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3.,例6.求椭球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以椭球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三.二重积分,1.二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,2.极坐标系情形:若积
5、分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,例7.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四.三重积分的计算方法,方法1.“先一后二”(投影法),方法2.“先二后一”(截面法),方法3.“三次积分”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.直角坐标情形:,2.不同坐标系的三重积分,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,变量可分离.,围成;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,其中,3.重积分的应用,1.几何方面,面积(平面图形面
6、积或曲面面积),体积,形心等,质量,转动惯量,质心,引力,2.物理方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中曲面:z=f(x,y),(x,y)D 的面积公式为,形心坐标：,其中为由,例8.计算三重积分,所围,解:在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、曲线积分,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上
7、大,第二类:下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.格林公式,3.平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理证明采用,例11.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设
8、L 所围区域为D,由格林公式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在D 内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.任意项级数审
9、敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.求幂级数的收敛半径和收敛域,七、幂级数求和与函数展开成幂级数,求和,3.映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,2.初等变换法:求部分和极限,分解,套用公式等方法;,（在收敛区间内）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直接展开法,间接展开法,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,4.函数的幂级数展开法,例14.求幂级数,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此由和函数的连续性得:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式中令x=1,即得,例15.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
