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1、数系的扩充与复数的引入复数的概念,一.复数的概念,数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。,从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？,我们可以用下面一组方程来形象地说明 数系的发展变化过程：（1）在自然数集中求方程 x+10的解？（2）在整数集中求方程 2x+10的解？（3）在有理数集中求方程 x2-20的解？（4）在实数集中求方程 x2+10的解？,现在我们就引入这样一个数 i，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i 21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样
2、就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且1的平方根为i.而且得到了新数集Ca+bi|a,b R,现在我们就引入这样一个数 i，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i 21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且1的平方根为i.而且得到了新数集Ca+bi|a,b R,现在我们就引入这样一个数 i，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i 21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样
3、就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且1的平方根为i.而且得到了新数集Ca+bi|a,b R,二.复数集,复数a+bi(a,bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数a，当b0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数bi。,形如 a+bi(a,bR)的数叫做复数.C叫做复数集.常用za+bi(a,bR)来表示，叫复数的代数形式。,复数的代数形式：,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,复数a+bi,三.复数相等的定义,根据两个复数相等的定义，设a,b,c,dR，两个复数a+bi和 c+
4、di 相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到 a+bi=0.,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.,两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不等。,例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，,（1）m=1时，z是实数；（2）m1时，z是虚数；,（3）当 时，即m=1时，z是纯虚数；,问题2 设x，yR，并且(2x1)+xi=y(3y)i，求x，y。,解题总结：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种
5、重要的数学思想转化思想,例2.已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x,yR，求x,y.,解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，解得 x=,y=4.,复数的坐标表示,在几何上，我们用什么来表示实数?,想一想？,实数的几何意义,类比实数的表示，可以用什么来表示复数？,实数可以用数轴上的点来表示。,实数,数轴上的点,(形),(数),一一对应,回忆,复数的一般形式？,Z=a+bi(a,bR),实部!,虚部!,一个复数由什么唯一确定？,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示
6、复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面(简称复平面),一一对应,z=a+bi,复数的几何意义（一）,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。,例1.辨析：,1下列命题中的假命题是（）,D,2“a=0”是“复数a+bi(a,bR)是纯虚数”的（）。(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件,C,3“a=0”是“复数a+bi(a,bR)所对应的点在虚轴上”的（）。(A)必要不充分条件
7、(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件,A,例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。,解：复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），,(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，,m=1或m=-2。
8、,例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式二：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限.,小结,复数z=a+bi,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,平面向量,一一对应,一一对应,复数的几何意义（二）,x,y,o,b,a,Z(a,b),z=a+bi,小结,x轴-实轴,y轴-虚轴,复平面,复数z=a+bi 点Z(a,b）向量,复数的另一几何表示,x,O,z=a+bi,y,复数的绝对值,(复数的模),的几何意义:,Z(a,b),对应平面向量 的模|，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,|z|=|,小结,例3 求下列复数的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i,(4)z4=1+mi(mR)(5)z5=4a-3ai(a0),小结,x,y,O,设z=x+yi(x,yR),满足|z|=5(zC)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？,5,5,5,5,
