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1、小学估算教学研究,山西大同大学数计学院 王鲜凤,随着科学技术的进步，计算工具日益普及，人们的计算方式和观念也发生了很大的变化。许多原来需要利用纸笔进行的精确计算可以由其他工具代替，因此判断经由计算工具所得答案是否正确、合理显得尤为重要。我们今天所面临的问题是：确定什么时候需要精确答案，什么时候仅仅估算就可以了？如何有效地利用估算来判断心算、笔算及工具计算结果的正误？估算能力已成为当前国际小学数学教育中比较重视的一种能力。,我所做的工作,2004到2007年在西南大学读硕士期间，几次参加西师版小学数学教材修改研讨会，对“数与代数”部分进行了认真分析，并将“估算”这一“内容新、范围广、运用活、趣味
2、浓”的教学内容作为毕业论文的方向。运用课堂观察、问卷调查、访谈等研究方法从教师和学生两个方面对我国小学估算教学进行了深入的研究，主要研究了这些问题：,小学数学教师是如何教估算的？包括如何认识估算及估算教学的重要性，如何进行估算教学，教给学生哪些估算的方法，对估算结果如何认识和评价；小学生估算学得如何？包括如何认识估算，估算的准确程度如何，都运用哪些估算的方法，在估算中存在哪些错误，是否会运用估算解决实际的问题。,主要得到了以下一些结论：教师对估算有了一定的认识，但认识还不够全面，有些教师对估算的方法和估算的作用认识不全面；教师对估算教学目标认识不足，很多教师认为估算教学的主要目标是教会学生如何
3、估算，而不注重培养运用估算进行问题解决的能力；教师对估算结果缺乏评判标准，大部分教师认为只要接近精确得数的估计值都算对，但对“接近”的程度缺乏衡量标准。学生能够按照要求进行估算，具备了一定的估算能力，但学生的估算能力间存在一定的差异，特别是四年级学生。学生对估算的方法了解不全面，大部分学生会运用“四舍五入法”和“集中数字法”，但不会运用适合于乘法和除法估算的“相容数字法”。很多学生习惯于精确计算，即使运用估算容易解决的问题，也倾向于精确计算；有些学生虽然能够运用估算解决问题，但仅仅是为了估算而估算，不考虑实际的问题情景，学生运用估算解决问题的能力有待提高。,国际背景分析,美国二十世纪七十年代起
4、，美国的数学教育工作者开始正视长久以来估算一直在数学课程中被忽视的现象，他们在1972-1973和1977-1978两次全美教育进展评估(NAEP)中发现，几个学龄段的学生在估算上的表现都相当差，因此，全美数学教师联合会(NCTM)在1980年将估算列为课程主题，并在1986年出版了估算与心算年鉴，鼓励教师和研究人员共同探讨估算的教学与学习问题;他们在1988年更将估算列为五个重要的教学主题之一。,1980年NCTM在行动的纲领中号召，“教师应该经常地有规律地将估计活动结合到教学程序中去，特别地，应鼓励学生在提出和选择对象以及研究结果的合理性时进行估计练习”，第一次把估计能力作为一种重要的数学
5、素质。1990年，NCTM颁布的美国中小学数学课程标准，其中把估计作为“数学的合法部分”,将估计能力作为一条重要的标准。,日本日本国立教育研究院科学教育研究中心于1989年根据日本教育部所修订的课程标准编辑出版了日本中小学数学课程，此课程规划从1990年入学的幼儿园学生、1992年入学的小学生、1993年入学的中学生，到1994年高中新生开始逐年实施。该课程规划中有用概数（近似数）来估计四则运算结果的要求，强调小学五年级之后，教师必需提供适当的学习情景，以利于学生使用估算来求解结果和检验结果的合理性。,英国英国教育部1991年出版了部颁课程标准，该课程标准将数学课程目标分为十个水平，在“目标2
6、：数”中，从水平3-水平6都有有关运用估计检验计算的要求。在5到16岁学龄段学生应学的数学课程中，第2个教学目标指出：关于“数”的部分，特别强调学生应能了解并运用数字，包括估算和近似值，并且能解释其结果。（思考：估算与近似计算的区别是什么？）,在德国的数学教学中有对各种物体的长度进行估计的要求，在解决问题的过程中有估计结果的要求。德国教材无论在计算、应用题、量的计量等方面的教学中都十分重视估算，例如，在计算教学中常出现以下类型的试题：题目估算精确计算验算德国教材给出的应用题的解题步骤是：仔细地读题；在重要的词后面的数下面划线；画出草图；写出解题计划；估算；精确计算；比较估算和精确计算的结果；再
7、读一遍题目的问题，做出答案。,荷兰则在1998-2003年数学课程目标中规定，小学阶段数学课程的具体目标有6个部分。其中在“一般能力”目标中就有这样的要求：“学生应能做估算，包括与小数和分数有关的估算，并能对估算结果的正确性做出大体上的判断。”在中学阶段数学课程的具体目标中则明确地将估算同算术和测量列在一起，规定了“学生应能根据参考资料估计一个计算或测量的结果，并能通过检验来判断这个结果是否在允许的范围内”,加拿大安大略省教育部在其一到九年级的数学课程标准的“数字识别与计算”目标中就规定，“到六年级末，学生应当能运用所有的整数、小数和分数，通过选择恰当的运算方法（包括心算、估算、计算器、纸笔算
8、法）解决问题”,估算能力已是当前国际小学数学教育中比较重视的一种能力，在国际上数学教育改革发展中，数与计算的教学内容方面，变化与发展主要表现在：强调数意识；重视口算和估算；笔算教学强调理解算理和合理地运用计算方法。计算能力已不仅仅是指笔算、口算的能力，计算得正确与迅速；它有着更为丰富的内涵，至少它还包含对口算、笔算、珠算、估算等多种计算形式的理解和掌握，以及根据具体情况采用合适的计算形式，它还包括计算方法的合理、灵活、简便等。,在我国小学数学课程中历来只重视精确计算，估算一直没有受到重视，1992年的小学数学教学大纲首次将估算作为课程的内容，不过仅作为选学内容，没有真正落实到具体目标上，直到2
9、000年我国教育部颁布的九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）中才增加了这样的教学要求，要使学生“具有估算意识和初步的估算能力”，并指出，“估算在日常生活中有广泛的应用，在各年级应适当加强估算”，同时提出，“要重视培养学生估算的习惯和能力”，但还是没有落实在具体的目标上，估算只作为选学内容。,2001年7月国家教育部颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中提出了要加强估算，要求第一学段的学生“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，教学建议中指出：“教师要不失时机地培养学生的估算意识和估算技能”；在第二学段提出“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”的
10、要求。,估算的意义和作用,估算是估计（estimation）的一种，最常见的估计包括：估计运算的结果（即估算）、估计数的大小（即估数）和估量 估算就是对运算结果的估计，“估算”可以说是“得到一个计算题的粗略答案的一种过程”，是一种猜出合理的近似值的技能。估算（computational estimation），是指个体懂得什么情况下无法或不必作准确计算，并应用相关知识和策略给出近似答案的能力。,“估算与心算”年鉴中说明学估计的四个理由：第一，在受限制的情况下只好估计；第二，为了使情况更清楚而估计；第三，当以整数来计算显然比较方便的时候；第四，源自统计规则的一致性的考虑而作的要求。例如：聪聪过生
11、日想买下面两件生日礼物,关于估算的作用：,估算让我们可以判断答案的正确性，尤其目前电脑及电子计算机的使用愈来愈普及，更需要“估算”的技巧；一定的估算能力是真正做到对于现代技术自觉应用的一个重要保证，虽然计算机和计算器能够完成各种复杂的计算，但不能因此而使人们变成数盲，检查答案的正确性是估算的用途之一,例如，一件工作，甲独做4小时完成，乙独做5小时完成，甲乙合做几小时完成？根据经验可知，两人合做需要的时间一定比一人独做要少一些。如果算出：4+59（时），说明一定是错误的。又如在计算合格率、成活率和出勤率等问题时，计算出的结果如超出100也肯定是错的。715265282798，根据“减去的数比加上
12、的数大，其结果应比原数小”，可判断798是错误的。4 9922428，除数是两位数的除法，被除数前两位49比除数24大，可以商2，说明商的最高位在百位上，应该是一个三位数，于是可判断商“28”是错的。1 235485208558，只需算一下个位：550，1082，可以知道得数558是错的。,在纸笔计算很繁难且不方便时，估算可以快速地得到答案；估计有利于数意识的发展，这种技能是通过实践和反思而形成和发展的。（做得估计越多、对为什么估计思考的越多，越能做出好的估计。孩子们为了成功，需要很多练习估算和从先前经验中学习的机会。）估算十分有利于学生思维的训练，而且特别有益于增强思维的灵活性和创造性；也有
13、益于学生对于相应数学概念与知识的理解；而且估算的学习还有利于培养数感。,有关估算教学的研究,一位数学教师如何能够胜任教学，Faulk提出三条途径：第一是了解学生的需要及兴趣；第二是随着数学的最新发展前进，不落伍；第三是经由在职训练加强教学方法。他认为教师应该了解到数学的趋势是教学生们思考、探讨、发现；而这些能力特别在心算及估算的课程上能够发展。Nelson（1967）对12个四年级班和12个六年级班进行了四舍五入程序的教学，教学使得估算测试成绩显著提高。,估计反映了数学的另一面，一些术语如“大约”、“接近”、“附近”、“之间”、“比略小”等说明了数学不仅仅是精确的，其对数量关系和空间形式的估计
14、有助于概念和过程的理解及推理合理性的自觉意识，能提高学生处理实际问题的能力；教学的重点是发展学生的估计观（an estimation mind-set）：必须让学生理解估计的意义，什么情况下估计是合适的，估计结果和理想结果的接近程度等；如果我们鼓励学生去估计，他们就会把估计作为数学的有机成分；培养估计能力是一个不间断的工作，重要的是让学生掌握估计的策略；正确的估计同样需要推理、判断、决策等。,估算能力的层次,台湾学者支毅君提出的关于估算能力的六个层次：了解“估算”的意义及名词；知道何时可以使用估算来解题；能够得到合理的估算值；能用适当的方法；能够视数值的特色使用不同的估算方法；能判断何者是最好
15、的估算方法。,估算的方法,研究者确认了优秀估算者运用的三个关键的过程：重新表述 在保持原问题结构不变的情况下，更改数据以产生一个容易心算的形式的过程。方法：舍入、截取、替代更兼容的数字。例如，把（6347）43变为（6350）42使用数字的相等(或几乎相等)的形式。例如,把30%变为1/3,转换 将问题的数学结构变为易于心算的形式。例如，把8946+7212+7841变为80003；把（3476）43变为347（643）然后变为3507。补偿 调整在对问题进行转换和重新表述时所进行的数字变化。（这些调整是做出回答所允许时间的函数，但是也受数据可操作性、问题情境及个体对错误的容忍等因素影响）例如
16、，要求估计21,319,90826，发现26,000,000被26除等于1,000,000，就运用补偿得到850,000。,最常用的估计方法：最左数字法（将所给数聚焦到最左边的一个或几个数位的数字）用相同数位的四舍五入所得到的数字进行运算（3,8524,000）；抽取四舍五入所得数字的部分进行运算（3,8524）；截取并在后面的数位添零进行运算（3,8523,000）；单独截取进行运算（3,8523）。,四舍五入法例，估算147396532 估算918 883 相容数字法（相容数就是对于某一运算类型容易计算的两个数）例如，要估算2639 347588 1715集中数字法（求一组分布较为集中的数
17、之和）,例1 下面是光明小学各年级人数的统计表。（单位：人）,请你估计一下，这个学校大约共有多少学生？,例2 估算8946+7212+7841+8109,估算教学中的问题分析,统一要求估算的结果，估算方法单一 公认的估算结果的评判标准：误差在10%之内的估计答案计3分，误差在2010%之间的估计答案计2分，误差在3020%之间的估计答案计1分，得到精确答案或误差在30%以外的答案计0分。在估算教学中教师应强调“估计值应尽量接近精确值”，强调估算结果的合理性，提倡估算方法的多样化。估算应该是灵活的，对于每一道估算题，估算的方法不止一种，所得答案也不是唯一的。,例如，洋洋和爸爸妈妈一起去参观海洋馆
18、，售票处写着：,方法一：把成人票看成40元，404080（元）801797（元），100元够了。方法二：把成人票看成30元，儿童票看成20元。30302080（元），100元够了。方法三：把成人票看成40元，儿童票看成20元。404020100（元），100元够了。方法四：把34元看成35元，353570（元），701787（元），100元够了。方法五：100元钱买两张成人票后大约还剩30元，足够买一张儿童票了。,把学习估算方法作为估算教学的最终目标估算教学的目的是使学生能够灵活地运用估算解决一些实际问题。为达到这一目的，需要教给学生估算的方法，使学生有估算的意识。学会估算的方法是运用估算解决
19、实际问题的基础，但它不应是估算教学的最终目标。3.没有将估算融入计算教学或问题解决的全过程教材将估算内容单列，如人教版实验教材中涉及估算的内容大概如下：,导致为学习估算而学估算，学生在学完估算后不会自觉地运用估算的方法检验计算结果的正确性等。,一个教学案例：两位数加两位数的笔算（进位）,（一）创设情境，呈现计算背景情境：二年级四个班小朋友去参观自然博物馆，学校只租到了两辆车，每辆限乘70人。怎么办？（注：四个班学生人数分别是：二（1）班42人；二（2）班36人；二（3）班25人；二（4）班28人。）学生很快提出方案：两个班学生合乘一辆车。（二）思考：哪两个班合乘一辆车？具体方法有：（1）二（1
20、）和二（2）：4236，二（3）和二（4）：2528。（2）二（1）和二（3）：4225，二（2）和二（4）：3628。（3）二（2）和二（3）：3625，二（1）和二（4）：4228。（此刻学生的注意力落在如何搭配上，忽视搭配结果的可行性。）提问：这三种方法都可以吗？部分学生提出，因为“限乘70人”，第一种方法不可以。教师让学生阐述理由。生：40人加30人是70人，4236就一定超过了70人。（大家认同。）师：能不能让三个班的小朋友合乘一辆车？生：把少的三个班人数相加是362528，只算302020就等于70，说明三个班人数也一定超过70人。,创造性地运用教材，在学笔算之前提前渗透估算的思想
21、，让学生体会估算的必要性,参考文献,王鲜凤.新课程下小学估算教学的现状研究D.西南大学，2007.05王鲜凤.美国数学教材中估算内容的特点分析J.小学教学，2007.02.王鲜凤，刘静.小学估算教与学中的问题探析J.小学教学，2010.02.王鲜凤，李忠如.应对估算教学问题的策略研究J.福建教育，2010,08.卢江.面向21世纪的小学数学课程改革与发展J.课程教材教法,1998,(10):38-43.孙晓天.荷兰19982003年数学课程目标评介J.课程教材教法,2000,(1):53-57.中华人民共和国教育部.九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)S.北京：人民教育出版社,1992.
22、中华人民共和国教育部.九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)S.北京:人民教育出版社,2000,3.中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准S.北京:北京师范大学出版社,2001,7.,叶尧城,向鹤梅.数学课程标准教师读本(修订本)M.武汉:华中师范大学出版社,2003,6.司继伟.小学儿童估算能力研究D.西南师范大学博士学位论文,2002.郑毓信.国际视角下的小学数学教育M.北京:人民教育出版社,2004,1.鲍建生.估计数学教育面临的新课题J.教育研究,1997,(10):69-72.兰恭生.估算教学中的思维训练J.小学教学参考数学,2004,(7-8):80-81.张丽华,付晓燕.不容忽视的“估算”教学J.山东教育,2005,(Z4):96-96.司继伟,张庆林.估算:来自心理学的声音J.心理科学,2002,(2):240-241.朱乐平.中德两国小学数学教材比较研究.小学数学教学网,2004.支毅君.我国国小学生估算概念之研究J.台东师院学报,民85,(7):1-51.,作业,写一篇关于估算教学的分析报告或设计一份教学内容为估算的教案或课件发到下面的邮箱：,谢谢大家！,
