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1、第2章 变形体虚位移原理,在结构力学中已经学过变形体的虚功原理，并利用它推导了位移计算公式、线弹性体的互等定理等。当变形体虚功原理的前提条件改变为：力系给定、虚位移完全任意时，其结论也发生改变：虚功方程恒成立是给定力系平衡的充分必要条件。由于前提、结论都变了，因此这一变化后的原理称为变形体虚位移原理。由变形体虚位移原理作一定的变换，可导出以能量形式表示的平衡条件，这就是弹性体最小势能原理。用它们可推得位移法方程、求得受力和变形的近似解（里兹法）。,2-1 弹性力学的基本方程及其矩阵表示,为研究线弹性体的解答，首先需要建立微元体的平衡条件、几何条件、应力-应变关系、边界应满足的条件等，这些统称为
2、弹性力学的基本方程。,需要强调指出的是，在弹性力学中假设所研究的变形物体是连续、均匀和各向同性的（除专门说明外）。从数学上说，也即体内的位移、应力、应变等都是光滑、连续的函数,2-1-1 平衡（运动）微分方程,某二维弹性体中取出的一个面积为 的内部微元体，如下图所示,（a）位置变化示意,（b）微元体边界合力示意,图2-1 平面微元体受力示意,B,D,A,C,偏导数标记法,微分标记法,（）表示某物理量,在图2-1a AB边上的 合力 有如下近似（曲线面积近似等于梯形面积）计算,基于这一思想，在略去高阶小量后即可得到图2-1b所示的微元体受力图，因而此图受力从数学上讲是精确的。,微元体受力如图2-
3、1b所示，有 和 方程，即可得到二维问题的平衡微分方程,（2-1）,再由，可以得到切应力互等定理结论，即。,在此基础可以得到以下结论：,1、如果微元体不平衡，根据大朗贝尔原理，加上惯性力（例如 方向为）再列（瞬时）动平衡方程，则可得,式中 为材料密度，和 分别为坐标、方向的位移分量。这就是二维问题的运动微分方程。由式（2-2）可见，式（2-1）是惯性力为零时的特例。,2、对于三维问题，运动方程为,（2-2）,（2-3）,2-1-2 小变形的几何方程（位移应变关系）,图2-2为二维弹性体中沿坐标方向所取两正交微段及位移示意。和材料力学一样可引入如下线应变定义：,某坐标方向线应变=,微段变形后长度
4、-微段原长,微段原长,C,B,A,C,B,A,图 2-2 微段变形示意图,如2-2中微段AB在小应变条件下变形后的A,B,的长度为：,略去高阶小量后可得,由此可得，同理，不难理解。即,在定义：正交微段角度的改变量=切应变,则由图2-2在小变形下（小角度正切近似等于角度）可得,上述所定义的应变为工程应变，方程（2-4）称为几何方程。对于三维问题，对应工程应变的几何方程为,（2-4a）,（2-4b）,（2-5）,2-1-3 边界条件（边界处平衡和协调条件）,物体的边界可能有的如下情况：仅给定应力的表面仅给定位移的表面某些方向给定应力、另一些方向给定位移的混合边界条,对于以位移进行求解的问题，可以将
5、 也视作。物理量给定的条件称为边界条件。,1、应力边界条件,从边界部分取微元体如图2-3所示，微元体边界上的应力、表面力均已用合力表示。与建立平衡方程一样，注意：、间的关系为,式中，为边界外法线的方向余弦。,（2-6）,应力边界条件,表面上,图2-3 边界微元体受力示意图,三维问题的应力边界条件,（2-7）,式中，为边界外法线的方向余弦。,2、位移边界条件,当边界 上位移为给定值，时，由位移协调，位移边界条件可表示为,表面上,三维问题的位移边界条件,（2-8a）,（2-8b）,2-1-4 线弹性体的物理方程（本构关系）,对于各同性二维弹性体有图2-4所示的两种情况。图2-4a表示荷载作用平行于
6、板中面且沿厚度均匀分布，板厚 远小于平面内方向的尺寸，也即，这类问题称为平面应力问题。这时,2-4a 荷载作用于板的中面,图2-4b是一水坝示意，其特点是长度远远大于平面内两个方向的尺寸且沿长度荷载作用相同，这时可以取单位长度坝体进行分析，这类问题称为平面应变问题。此时,2-4b荷载沿长度不变，取单位厚度分析,两类问题的共同特点是：物理量（位移、应变、应力）只是坐标的，函数。,线弹性材料应力-应变关系称线弹性本构方程，由材料力学中的中广义胡克定律可得：,对平面应力问题为,（2-9）,式中：，分别为弹性模量和泊松比。从式（2-9）解出应力则可得,（2-10）,对平面应变问题为,可证明在（2-10
7、）中对，作如下变换,（2-11）,就可得到（2-11）。,（2-12）,2-1-5 物理量的矩阵表示,为了以后推导方便、书写简洁，对二维问题一些物理量和符号用矩阵表示如下：,应力矩阵,应变矩阵,位移矩阵,体积力矩阵,表面力矩阵,；已知位移矩阵,弹性矩阵,，矩阵元素取决于问题类型和材料特性。,方向余弦矩阵,微分算子矩阵,1、自己推导三维问题物理量和符号用矩阵表示方法。2、自己推导弹性矩阵中的D值。,？,利用所引入的矩阵符号，由矩阵运算可以证明弹性力学基本方程可写作如下矩阵方程：,2-1-6 弹性力学基本方程的矩阵表示,平衡方程,几何方程,本构方程,应力边界条件,位移边界条件,（2-13）,（2-
8、14）,（2-17）,（2-16）,（2-15）,2-2 变形体虚位移原理,2-2-1 弹性力学平面问题外力总虚功,内部微元体上外力总虚功,（1）微元体受力分析和上节平衡分析一样略去高阶小量，微元体受力如图2-5所示。,（2）微元体受力点的虚位移和几何分析相仿，在设A点（称为基点）坐标，其虚位移为，又连续函数在A点的泰勒级数展开可知，对应图2-5合力作用点的虚功位移分别为：,图2-5 内部微元体受力图,O点：,1点：,2点：,3点：,4点：,（3）微元体外力的总虚功有了上述准备，力乘以对应虚位移求代数和，即可得到总虚功。,4点,O点,1点,2点,3点,对上式进行整理并舍去高阶无穷小量可等,（2
9、-18）,式子中第一项是微元体上外力在随基点刚体平移 时的总虚功，第二项则为外力在微元体变形虚位移上所做的总虚功。如果分别记作 和，则,（2-19c）,（2-19b）,（2-19a）,边界微元体上外力总虚功,图2-6 边界微元体受力图,边界微元体的受力图如2-6所示，以A为基点，按泰勒级数展开的概念，可写出图中O，1，2，3点的虚位移。由此，可写出微元体上外力的总虚功为：,1点,3点,O点,2点,引入边界外法线方向余弦，且略去高阶小量并整理后可得,（2-20）,虚位移时变形体上外力所做的功,显然，将内部和边界微元体的外力功积分起来就可以得到变形的外力总虚功,（2-21）,（2-22）,引用上节
10、的矩阵表达式，式（2-21）可改写为,2-2-2 变形体虚位移原理表述和证明,变形体虚功原理的回顾,在结构力学里曾讨论过变形体虚功原理，给出了杆系问题的虚功方程，推导了位移计算公式，证明了线弹性体的互等定理。,变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系。二维板、三维块体）、适用于任何 力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。,变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功德恒等关系，他是一个必要性的命题。,变形体虚位移原理的表述：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所做总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。即恒有如下虚功方程成
11、立,（2-23）,上述命题即为变形体虚位移原理。,对于二维问题式（2-23）的矩阵表达式为,（2-24）,变形体虚功原理必要性证明,当变形体处于平衡状态时，虚功方程（2-23）或（2-24）恒成立,证明：,因为变形体平衡、平衡方程、应力边界条件成立。也即,考虑上述条件后，由式（2-22）可得,由于虚位移必须满足约束条件，在给定位移的表面 上，因此（2-22）可改写成,式（b）的后两个积分,利用高斯公式,式中：、为区域 边界 外法线的方向余弦，即可证明式(c)积分等于零，这一 关系称为格林公式。式（b）利用格林公式后，即可得,（c）,（b）,（a）,由式（a）和式（b）即可证明得式（2-24）虚
12、功方程成立。必要性证毕。,（d）,变形体虚功原理充分性证明,充分性证明：当对于一切虚位移虚功方程成立时，变形体一定平衡。这里需要强调的是：对一切虚位移包含两方面含义，其一是虚位移具有任意性，其二是虚位移具有独立性。,证明：,因为不管变形体是否平衡，外力总虚功都按式（2-21）或式（2-22）计算。现在假设变形体不平衡，则微元体存在加速度，利用达朗贝尔原理可知瞬时惯性力集度为,式中：为材料的密度。由于惯性力作用于体内每一点，因此可看成是一种体积力。当根据达朗贝尔原理在变形体上假想地加上这种体积力后，体系在每一瞬时都应该是平的。因此，对每瞬时都能利用必要性命题的结论。由此可得,由命题的已知条件，又
13、有对一切虚位移式（2-24）恒成立，因此两式相减可得,将矩阵方程展开，则,由于上式对一切虚位移都成立，而、具有任意性、独立性，因此必须,也就是说，当对一切虚位移虚功方程都成立的话，如果变形体不平衡，则其加速度必等于零。实质上等于说变形体不可能不平衡，至此原理充分性证毕。,2-3 最小势能原理及里兹法,预备知识,泛函 如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量 有一个值和它对应，则变量 称为依赖于函数y(x)的泛函。记为,变分法就是研究泛函的极大值和极小值的方法。,如图在xy平面内连接A、B两点的任一曲线的长度为,因此，长度L就是函数y(x)的泛函。,只要积分的上下限保持不变，变分的
14、运算与定积分的运算可以交换次序。,一般泛函定义,泛函的变分,泛函的极值问题变分问题,如果泛函 在 的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于 即,则称泛函 在曲线 达到极大值或极小值，而必要的极值条件为,例,2-3-1 最小势能原理,虚位移原理虚功方程为,以位移为自变函数，则用几何方程可求得应变、由本构方程求得应力，因此应力是位移的函数。在考虑到虚应变和虚位移满足几何方程，上述虚功方程可改写成：,对线弹性物体来说，因此,又由于外力是给定的，他和虚位移无关。将虚位移看成是位移的变分，虚功方程可改写为：,（a）,引入以下定义：,定义1 外力从位移状态 退回到无位移的初始状态时所作的功，称为外力势能
15、，记作（或 或）。即：,定义2 应变能 和外力势能 的和称为总势能，记作（或 或）。即：,（2-26）,（2-25）,则式（a）成为,（2-27）,由虚位移原理可知，位移状态 为真实位移状态的充分、必要条件是，对应位移 的势能一阶变分为零。这就是最小势能原理。,2-3-2 最小势能原理与位移法,在结构力学已学习过位移法，当时是在力法解超静定单跨梁得到“形常数”、“载常数”的基础上，建立了通过“一拆拆成单杆集合”“一合合回去平衡”求解结构位移的位移法方程。本小节从势能原理角度导出位移法方程，并举例说明求解方法。,由最小势能原理导出位移法方程,以图2-7结构为例，说明位移法方程的建立。设节点位移如
16、图为、，可将结构看成由节点分割成3个单元。每一单元的位移可适当选取函数由单元杆端的位移表示出来。因此，结构的位移可通过以、为线性组合参数得到。设自动满足位移协调条件（支座约束、结点连接条件）的单元位移场为（i=1，2，3），,图2-7 示意图,忽略轴向变形和剪切变形，则由杆件应变能公式,（2-28）,显然对单位求和，可以得到结构的总应变能。由于单元位移是结点位移、的线性表达式，因此从式（2-28）可知，总应变能一定是结点位移、的二次型,（2-29）,对线弹性结构，根据能量守恒，应变能等于外力功，因此,(a),这里 应该是和 对应、作用在结点的等效广义力。对比式（2-29）和（a）可知,(b),
17、类似的分析，从外力势能定义可知，,（或,）必然是,的线性表达式，,（2-30）,式中：的物理意义是荷载引起的 方向固端广义力总和。今后同样可直接从这一物理意义来求，从而建立外力总势能表达式。,有了式（2-29）和（2-30），立即可得结构总势能为,（2-31）,令总势能对位移的变分等于零，也即偏导数,，可得,（2-32）,可见这一结果与结构力学的位移法方程完全相同。,能量法求解举例,【例题2-1】用最小势能原理求解图2-28a所示结构的结点位移，各杆EI等于常数。,图2-28,（1）结构只有图2-28b所示一个结点转角,，以它为参数。,（2）根据刚度系数,的物理意义和形常数，可得,（3）计算应
18、变能,，由式（2-25）可得,（4）按,的物理意义和载常熟可得,（5）写总势能表达式，可得,（6）由极值条件可求得,2-3-3 里兹法,此法的基本思路（也即求解步骤）是：选定满足给定位移边界条件的、独立的一些函数作为“基函数”（或称为试函数）。以基函数的线性组合作为待确定的近似位移场，组合系数称为广义坐标。当用最小势能原理时，由建立的位移场将总势能表示成广义坐标的函数。由总势能取驻值（对广义坐标的偏导数为零），对线弹性问题建立求解广义坐标的线性代数方程组。将求得的广义坐标代回位移场，一般得到问题的位移近似解答，进一步可由位移求得其他物理量。用虚位移原理求解时，前两步是一样的。用广义坐标的变分作
19、组合系数，以同样的基函数建立虚位移场，用几何方程求虚应变（杆系问题时为虚变形）。由基函数线性组合的位移场求应变、应力（对杆系问题求内力）。令虚功方程对一切广义坐标变分都成立，对线弹性问题建立求解广义坐标的线性代数方程组。将求得的广义坐标代回位移场，一般得到问题的位移近似解答，进一步可求得其他物理量。,用虚位移原理求解,【例题2-2】试用里兹法求图2-9所示梁的位移和固定端弯矩。（当然对本例题所示悬臂 梁也可用材料力学的挠曲线微分方程二次积分法来求解）。,图2-9,解：对于梁，虚位移原理虚功方程为,（a）,首先，选择满足位移边界条件的“基函数”。对图示梁最简单的是取,等。由此可,设梁的挠曲线为,
20、式中，,等即为广义坐标。显然，通过式（a）将本来是无限自由度的,问题，化成了只有有限个广义坐标的有限自由度问题。,然后，设虚位移为,（b）,由式（a）和（b）可得,（c）,（d）,为了利用虚功方程，根据设定的挠曲线虚位移，还要计算外力总虚功,（e）,和总虚变形功（或称为内力功）,（f）,最后，令虚功方程恒成立，由于虚广义坐标的任意性、独立性，即可求得广义坐标。如果只取级数一项，则式（e）、（f）中只出现,项，因此可得,如果只取级数两项，则式（e）、（f）中只出现，,项，因此可得,从（g），（h）可看出如下结论：弯矩不能满足平衡条件（可验证取三项时是精确解）。位移的精度比弯矩高，用图乘法计算B点的挠度，可以证明式（h）结果是精确的。广义坐标越多越精确，但工作量也越大。理论上说，只要选取完备的基函数集合，里兹法的结果是精确的。,
