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1,周期为2的函数,的傅立叶系数:,函数,的傅立叶级数:,的傅立叶级数何时收敛？收敛于什么？,预备知识：,2,第八节 正弦级数和余弦级数,一、奇函数和偶函数的傅立叶级数,定理,在一个周期上可积,则,它的傅立叶系数为,它的傅立叶系数为,证,3,这个定理说明了:,只含有正弦项的正弦级数：,弦项的余弦级数：,那么它的傅立叶级数是,那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余,4,解,处不连续，,所给函数满足收敛定理的条件，,它在点,因此，,和函数的图像:,5,按前面公式有,6,例2 将周期函数,展开成傅立叶级数,其中E 是正的常数.,解,按公式有,7,8,二.函数展开成正弦级数和余弦级数,解,先求正弦级数。,对函数进行奇延拓：,9,再求余弦级数。,对函数进行偶延拓：,10,11,叶级数展式为:,其中,（1）,定理,则其傅里,（2）,（3）,12,证:,则当,并且满足收敛定理的条件,所以,类似可证（2）,（3）。,令,令,13,解,函数满足收敛定理的条件,14,15,解,延拓后的函数的傅立叶系数:,必须对,是定义在 0,l 上的函数，,要将它展开成正弦级数，,进行奇延拓。,对上式右端 的第二项,令t=l-x,则,16,的正弦级数展开式为：,17,解,设,延拓后的函数满足收敛定理的条件,18,19,一、奇函数和偶函数的傅立叶级数,小结：,二.函数展开成正弦级数和余弦级数,
