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1、线性系统的能控性和能观性,目录(1/1),目 录概述4.1 线性连续系统的能控性4.2 线性连续系统的能观性4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性4.4 对偶性原理4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消4.6 能控规范形和能观规范形4.7 实现问题4.8 Matlab问题本章小结,线性连续系统的能观性(1/2),4.2 线性连续系统的能观性本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观性问题。关键问题:1.基本概念:状态能观性2.基本方法:状态能观性的判别方法3.状态能观性的物理意义和在状态空间中的几何意义,重点喔!,要理解喔!,线性连续系统的能观性(2/2),本节首先从物理直观性来讨论状态能观性
2、的基本含义,然后再引出状态能观性的定义。下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能观性严格定义的确切含义是有益的。本节讲授顺序为:能观性的直观讨论状态能观性的定义线性定常连续系统的状态能观性判据,能观性的直观讨论(1/14),4.2.1 能观性的直观讨论状态能观性反映系统外部可直接或间接测量的输出y(t)和输入u(t)来确定或识别系统状态的能力。如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定,那么称系统是能观的,或者更确切地说,是状态能观的。否则,就称系统为状态不完全能观的。下面通过几个例子来说明能观性的意义。,能观性的直观讨论(2/14),例 考虑右图所示的电网络系统
3、由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。,当电阻R1=R2,电感L1=L2,输入电压u(t)=0,以及两个状态变量的初始状态x1(t0)=x2(t0)且为任意值时,必定有i3(t)=0,即输出变量y(t)恒为零。因此,由恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t),即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。,该电网络模型中,u(t)为输入电压,y(t)=i3(t)为输出变量,通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)。,图4-4电网络,能观性的直观讨论(3/14),但当电阻R1R2或电感L1L2时,则上述由输出y(
4、t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。这种能由输出变量值确定状态变,量值的特性称为状态能观,若由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性则称为状态不能观。,能观性的直观讨论(4/14),从状态空间模型上看，当选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)时，状态空间模型为,能观性的直观讨论(5/14),当电路中电阻值R1=R2=R,电感值L1=L2=L时,若输入电压u(t)突然短路,即u(t)=0,则状态方程为显然,当状态变量的初始状态为x1(t0)=x2(t0)且为任意值时,上述状态方程的解必有x1(t)=x2(t),故有y(t)=i3(
5、t)=0,即输出变量y(t)恒为零。因此,由观测到的恒为零的输出变量y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值,即由输出i3(t)不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)。,能观性的直观讨论(6/14),但当电路中电阻值R1R2或电感值L1L2时,则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观,若不能惟一确定则称为状态不能观。,能观性的直观讨论(7/14),补充例1 右图所示的电网络中,电源电压u(t)为输入,电压y(t)为输出,并分别取电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为
6、状态变量x1(t)和x2(t)。,因此,由输出变量y(t)显然不能确定电压值uC(t),即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)的值。故,该电网络在开关K断开后,是状态不能观的。,当开关K在t0时刻断开后,显然电容C和电阻R1构成一阶衰减电路,电容电压uC(t)的变化只与初始状态uC(t0)有关,与衰减电路外其他信号无关。,能观性的直观讨论(8/14),例 考虑间歇化学反应器的由输出变量的值确定状态变量的值的能力问题。设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应式中，k1和k2为反应速率常数。上述化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物B的产量尽可能大,副产品C尽可能小,因而要求防止后面
7、的反应继续进行下去。,能观性的直观讨论(9/14),设上述化学反应式中的第1步反应是二级反应,第2步反应是一级反应。这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程(状态方程)和输出方程式中，C1(t)、C2(t)和C3(t)分别是A、B和C的浓度。,能观性的直观讨论(10/14),由上述物料平衡的动态方程可知,副产品C的浓度C3(t)的值不仅决定于产品B的浓度C2(t),而且还决定于C3(t)在初始时刻t0的值C3(t0)。,因此,若在生产过程中,能直接检测到的输出量为产品B的浓度C2(t),则副产品C的浓度C3(t)的值是不可知的,即为不能观的。若选择C1(t),C2(t)和C3(t)为状态变
8、量,则上述化学反应过程为状态不完全能观的。上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。,能观性的直观讨论(11/14),补充例 给定系统的状态空间模型与结构图分别为,本例中,输出变量y(t)即为状态变量x1(t)。因此,由y(t)的测量值可直接得到x1(t)的值,即状态变量x1(t)可由输出唯一确定。,能观性的直观讨论(12/14),而由状态变量x2(t)所满足的状态方程及其运动状态的解可知,x2(t)的运动轨迹由x2(t)的初始状态x2(t0),x1(t)和输入u(t)三者共同决定。,因此,由测量到的输出y(t)和输入u(t)并不能唯一确定
9、出状态变量x2(t)的值,即状态x2(t)是状态不能观的。因此,整个系统的状态是不完全能观的。,能观性的直观讨论(13/14),补充例 给定系统的状态空间模型为,由状态方程可知:状态变量x1(t)和x2(t)可分别由初始状态x1(t0)和x2(t0)唯一决定,并可表示为xi(t)=e-txi(0)i=1,2,能观性的直观讨论(14/14),因此,输出变量y(t)可表示为y(t)=e-tx1(0)+x2(0)由y(t)的解可知,由y(t)并不能唯一地分别确定初始状态x1(t0)和x2(t0),进而唯一地确定状态变量x1(t)和x2(t),即x1(t)和x2(t)是状态不能观的,整个系统的状态是不
10、完全能观的。前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能观性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能观性是困难的。下面将通过给出状态能观性的严格定义,来导出判定状态能观性的充要条件。,状态能观性的定义(1/6),4.2.2 状态能观性的定义对线性系统而言,状态能观性只与系统的输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与系统的输入u(t)和输入矩阵B无关,即讨论状态能观性时,只需考虑系统的自由运动即可。,上述结论可证明如下:对线性定常系统(A,B,C),其状态和输出的解分别为,简单否?,状态能观性的定义(2/6),因为矩阵A,B,C和输入u(t)均已知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是
11、已知项。故可以定义如下辅助输出:,研究状态能观性问题,即为上式对任意的初始状态x(t0)能否由辅助输出y-(t)来唯一确定的问题。所以线性系统状态能观性仅与输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与输入矩阵B和输入u(t)无关。也就是说,分析线性系统的能观性时,只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。因此,我们有如下线性系统状态能观性的定义。对线性连续系统,我们有如下状态能观性定义。,状态能观性的定义(3/6)能观性定义,定义4-3 若线性连续系统,对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),根据在有限时间区间t0,t1内量测到的输
12、出y(t),能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称在t0时刻的状态x(t0)能观;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观,则称系统在t0时刻状态完全能观;,状态能观性的定义(4/6)能观性定义,若系统在所有时刻状态完全能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。即,若逻辑关系式,为真,则称系统状态完全能观。若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不能观。,状态能观性的定义(5/6),对上述状态能观性的定义有如下注记。1.对于线性定常系统,由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵,与时间无关,因此不必在定义中强调“在所有时刻状
13、态完全能观”,而为“某一时刻状态完全能观,则系统状态完全能观”。即,若逻辑关系式,为真,则称线性定常连续系统(A,C)状态完全能观。,状态能观性的定义(6/6),2.上述定义中的输出观测时间为t0,t1,并要求t0t0。这是因为,输出变量y(t)的维数m一般总是小于状态变量x(t)的维数n。否则,若m=n且输出矩阵C(t)可逆,则x(t)=C-1(t)y(t)即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于mn,为了能唯一地求出状态变量的值,不得不依靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。3.在定义中把能观性定义为对初始状态的确定,这是因为,一旦确定初始状态,便可根据状态
14、方程的解表达式,由初始状态和输入,计算出系统各时刻的状态值。,线性定常连续系统的状态能观性判据(1/1),4.2.3 线性定常连续系统的状态能观性判据线性定常连续系统的状态能观性判据有许多不同形式,下面分别讨论代数判据和模态判据。,代数判据(1/13),1.代数判据定理4-7(线性定常离散系统能控性秩判据)线性定常连续系统(A,C)状态完全能观的充要条件为下述条件之一成立:1.矩阵函数CeAt的各列函数线性独立,即不存在非零常数向量fRn,使得CeAtf02.如下定义的能观性矩阵,满秩,即,比较一下能控性矩阵,代数判据(2/13)-代数判据定理证明,rankQo=n 证明 对于线性定常系统,由
15、能观性定义可知,其状态能观性与初始时刻无关。因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。根据第3章中输出方程解的表达式,有y(t)=CeAtx(0)由能观性的定义可知,线性定常连续系统的状态是否完全能观,等价于上述方程是否有x(0)的唯一解问题。下面将利用上述方程分别证明判别状态能观性的上述两个充要条件。,代数判据(3/13),(1)证明条件1。先证充分性(条件结论)。即证明,若CeAt的各列函数线性独立,则系统状态能观。用反证法证明:设状态不能观,但CeAt的各列函数线性独立。充分性反证法证明的思路,状态不能观,存在两个不同的初始状态x1(0)和x2(0)所对应的输出完全一致,由输出的解的表达可
16、得:CeAt的各列函数线性相关,与假设矛盾,充分性得证,证明过程:,代数判据(4/13),状态不能观,则意味着存在某一初始状态x(0),由有限时间区间t0,t1内观测到的输出y(t),由方程y(t)=CeAtx(0)得不到x(0)的唯一解。设x1(0)和x2(0)分别是由方程y(t)=CeAtx(0)确定出的两个不同初始状态,即x1(0)和x2(0)分别满足y(t)=CeAtx1(0)t0y(t)=CeAtx2(0)t0将上述两式相减,可得0=CeAtx1(0)-x2(0)t0而x1(0)-x2(0)为非零向量,因此上式恒成立的条件为CeAt的各列函数线性相关。这与前面的推论产生矛盾,故原假定
17、系统状态不能观,但CeAt的各列函数线性独立是不成立的。,代数判据(5/13),因此,充分性得证。再证必要性(结论条件)。即证明,若系统状态能观,则CeAt的各列函数线性独立。用反证法证明。设CeAt的各列函数线性相关,但状态能观。必要性的反证法证明思路:,CeAt的各列函数线性相关,存在某非零初始状态f与零初始状态的输出均为0,由0输出不能确定初始状态是为零或者为f,状态不完全能观,与假设矛盾,必要性得证,代数判据(6/13),证明过程:CeAt的各列函数线性相关,即存在非零向量fRn,使得CeAtf0因此,若x(0)=f,则有y(t)=CeAtx(0)=0 t0而当x(0)=0时,系统输出
18、亦恒为零。因此,当系统输出恒为零时,由方程y(t)=CeAtx(0)不能确定出初始状态x(0)=f或0,即有部分状态不能观。这与前面的假设矛盾,故原假定CeAt的各列函数线性相关,但状态能观是不成立的。因此,必要性得证。,代数判据(7/13),(2)下面通过证明CeAt的各列函数线性相关等价于能观性矩阵Qo非满秩来证明定理中的条件(2)。即证明(结论A)若CeAt的各列函数线性相关,则能观性矩阵Qo非满秩,以及(结论B)若能观性矩阵Qo非满秩,则CeAt的各列函数线性相关。下面分别加以证明。,代数判据(8/13),先证结论A。即需证明:若CeAt的各列函数线性相关,则能观性矩阵Qo非满秩。若C
19、eAt的各列函数线性相关,则存在非零向量f使得CeAtf0由于CeAt连续并有无穷阶导数,因此,若上式对任意时间t恒成立,则对该方程的两边求任意阶导数方程依然成立,即CAeAtf0CA2eAtf0CAn-1eAtf0,代数判据(9/13),令上述两式的t=0,则有,因此,若CeAt的各列函数线性相关,则能观性矩阵Qo非满秩,即结论A成立。,代数判据(10/13),再证结论B。即需证明:若则能观性矩阵Qo非满秩,CeAt的各列函数线性相关。若能观性矩阵Qo非满秩,即式(4-26)式成立,则存在非零向量f使得,成立。由凯莱-哈密顿定理,有,代数判据(11/13),因此有,即,若能观性矩阵Qo非满秩
20、,则CeAt的各列函数线性相关。因此结论B得证。综合上述过程,则证明了CeAt的各列函数线性相关等价于能观性矩阵Qo非满秩。故由定理的条件(1)可知,能观性矩阵Qo满秩亦为线性定常连续系统状态能观的充要条件。,代数判据(12/13),定理4-7给出的是线性定常连续系统状态能观性充要的两个判据,可直接用于能观性判定。由于检验CeAt的各列是否函数线性独立相对困难一些,因此实际应用中通常用定理4-7的条件(2)。条件(2)我们亦称为线性定常连续系统状态能观性的代数判据。,代数判据(13/13)例7,例4-7 试判断如下系统的状态能观性,解 由状态能观性的代数判据有,而系统的状态变量的维数n=2,所
21、以系统状态不完全能观。,模态判据(1/12),2.模态判据在给出线性定常连续系统的状态能观性模态判据之前,先讨论状态能观性的如下性质:线性定常系统经线性变换后状态能观性保持不变。下面对该结论作简单证明。设线性变换阵为P,则系统(A,C)经线性变换 后为,并有,模态判据(2/12),因此系统 的状态能观性等价于(A,C)的状态能观性,即线性变换不改变状态能观性。基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约旦规范形(对角线规范形为其特例),通过分析约旦规范形的能观性来分析原状态空间模型的能观性。下面讨论线性定常连续系统约旦规范形的状态能观性模态判据。,2.模态判据(3/12),定理4-8
22、 对为约旦规范形的线性定常连续系统(A,C),有:1.若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能观的充要条件为对应A的每个约旦块的C的分块的第一列都不全为零;2.若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能观的充要条件为对应A的每个特征值的所有约旦块的C的分块的第一列线性无关。,2.模态判据(4/12),定理4-8的证明可直接由定理4-7而得。对定理4-8作两点说明:状态能观性模态判据讨论的是约旦规范形。若系统的状态空间模型不为约旦规范形,则可根据线性变换不改变状态能观性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形,然后再利用定理4-8来判别状态能观性;定理4-8不仅可判别出状态
23、能观性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能观。这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正是非常有帮助的。,2.模态判据(5/12)例8,例4-8 试判断如下系统的状态能观性。,解 由定理4-8可知,A为特征值互异的对角线矩阵,但C中的第2列全为零,故该系统的状态x2不能观,则系统状态不完全能观。,状态空间x1-x2不完全能观,状态变量x1完全能观,状态变量x2完全不能观,模态判据(6/12)例15,解 由于A为每个特征值都只有一个约旦块,且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零,故系统状态完全能观。,模态判据(7/12)例15,解 由于A中特征值-4的两个约旦块
24、所对应的C的分块的第一列线性相关,该系统的状态x1,x2和x3不完全能观,则系统状态不完全能观。,状态空间x1-x2-x3-x4不完全能观,状态变量x1-x2-x4不完全能观,状态变量x3完全能观,还能再分解否？,模态判据(8/12),由定理4-8的结论(2),对单输出系统的状态能观性,有如下推论。推论4-2 若单输出线性定常连续系统(A,C)的约旦规范形的系统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则该系统状态不完全能观。定理4-8所给出的状态能观性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。下面我们给出另一种形式的状态能观性模态判据,称为PBH秩判据。该
25、判据属于一种直接法。,模态判据(9/12)推论4-2与定理4-9,定理4-9 线性定常连续系统(A,C)状态完全能观的充要条件为:对于所有的,下式成立:,该定理的证明可由定理4-8直接得到。对于所有的,直接检验定理4-9的条件较困难。可以证明,定理4-9的条件式对于所有的成立等价于其对A的所有特征值成立。因此,应用定理4-9时,只需将A的所有特征值代入定理4-9的条件式,检验其成立与否即可。,模态判据(10/12)例9,例4-9 试判断如下系统的状态能观性。,解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为-1,-2和-3。对特征值1=-1,有,列3=列2-列1,模态判据(11/12)例1
26、6,由定理4-9知,因为对应于特征值-1,定理4-9的条件不成立,故该系统状态不完全能观。,模态判据(12/12),能观性判据小结,判定方法,特点,判据,矩阵指数函数判据,代数判据,模态判据1,模态判据2,矩阵函数CeAt的各列函数线性独立,能观性矩阵Qo满秩,约旦标准形中同一特征值对应的C矩阵分块的第一列线性无关,对于所有特征值,rankI-A C=n,需要求矩阵指数函数并判定函数相关,计算复杂,计算简便可行。缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观,易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观。缺点为需变换成约旦标准形,易于分析哪些特征值(极点)能观。缺点为需求系统的特征值,清
27、楚了吗?,线性时变连续系统的状态能观性(1/11),4.2.4 线性时变连续系统的状态能观性 以上讨论的状态能观性的判据是针对线性定常连续系统而言的,对时变系统不成立。下面讨论线性时变连续系统的状态能观性的判据。,线性时变连续系统的状态能观性(2/11),定理4-10 线性时变连续系统(A(t),C(t),即在初始时刻t0上状态完全能观的充分必要条件为:存在t1(t1t0),使得如下能观格拉姆矩阵为非奇异的,比较一下能控格拉姆矩阵判据,线性时变连续系统的状态能观性(3/11),证明 1)证明条件的充分性，即证明若存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵是非奇异的,即存在,则系统是状态完全能观的
28、。设x0为初始时刻t0的任意给定的非零初始状态,则状态空间模型(A(t),C(t)的解为将上述输出的解表达式两边左乘(t0,t)C(t),并在t0,t1区间内积分,得,线性时变连续系统的状态能观性(4/11),若 存在,即有因为系统输出y(t)可测且A(t)和C(t)已知,故上式右边是已知的。因此,上式表明,如果存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵是非奇异的,那么通过在时间区间t0,t1内测量到的y(t)可惟一地计算出系统任意的初始状态x0。于是状态能观性得以证明。,线性时变连续系统的状态能观性(5/11),2)证明条件的必要性，即证明若系统是状态完全能观的,则一定存在t1(t1t0),使
29、得能观格拉姆矩阵Wo(t0,t1)是非奇异的。采用反证法证明。假设不存在t1(t1t0),使得能观格拉姆矩阵Wo(t0,t1)是非奇异的,但系统是状态完全能观的。对任意的t1(t1t0),能观格拉姆矩阵Wo(t0,t1)是奇异的,则必定存在某个非零的初始状态向量x0Rn,使得即,线性时变连续系统的状态能观性(6/11),考虑到输出的解为即因为y(t)是t的有限分段时间连续函数,故上式成立的条件为,线性时变连续系统的状态能观性(7/11),上式表明x0为不能观状态,即系统为状态不完全能观。这和前面的假设条件相矛盾,故假设不成立。因此,若系统是状态完全能观的,则一定存在t1(t1t0),使得能观格
30、拉姆矩阵Wo(t0,t1)是非奇异的。于是必要性得以证明。,线性时变连续系统的状态能观性(8/11),在应用由定理4-10给出的线性时变连续系统的状态完全能观判据时,需先求出时变的系统矩阵A(t)的状态转移矩阵(t,t0),再求系统的能观格拉姆矩阵Wo(t1,t0),计算困难且计算量较大。下面给出一个较为实用的时变系统状态能观性判据,该判据只需利用A(t)和C(t)的信息即可。,线性时变连续系统的状态能观性(9/11),定理4-11 若对初始时刻t0,存在时间t1(t1t0),使得线性时变连续系统的系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)中的各元素在时间区间t0,t1内对时间t分别是(n-2)和(n-1)阶连续可导,定义再定义如下时变系统的能观性矩阵若能观性矩阵Qo满足则称时变系统在初始时刻t0上状态完全能观。,线性时变连续系统的状态能观性(10/11)例4-10,定理4-11的证明可由参考文献6中找到,这里不再给出。值得指出的是,定理4-11给出的仅是一个充分条件，即不满足这个定理的并不一定是不能观的。例4-10 试判断如下时变系统在初始时刻t0=1的状态能观性。解 由于A(t)与C(t)高阶连续可导,因此采用秩判据。,线性时变连续系统的状态能观性(11/11),由定理4-11,有容易判别t1时,rank Qo(t)3=n,所以系统在初始时刻t0=1上是状态完全能观的。,
