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1、三垂线定理,复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线,O为斜足;,PA是平面的垂线,A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,三垂线定理,探究问题1：已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，若aAO。则得到a与那些直线垂直。,三垂线定理探究,探究问题2：如何证明你的结论,探究问题3：用文字语言叙述上述结论,证明过程分析：,aPO,PA a,AOa,a平面PAO,PO平面PAO,PA a,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,结论汇总1：,板书证明过程,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面
2、内，定理就不一定成立。,例如：当 b 时，bOA,如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？,但 b不垂直于OP,思考?,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。,说明：,三垂线定理,结论汇总2：三垂线定理基本图形的特点分析,1:一面,2:四线,3:三垂直,线面垂直,线射垂直,线斜垂直,探究问题4：三垂线定理的图形有哪些特点？（构成元素、三垂的解释）,例1 已知P 是平面ABC 外一点，PA平面ABC，AC BC，求证：PC BC,证明：P 是
3、平面ABC 外一点 PA平面ABC AC是斜线PC在平面ABC上 的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,结论应用：,例2(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点,AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,1、三垂线定理解题的关键：定面、找线！,怎么找？,运用三垂线定理证明的一般步骤：,二找（找平面的垂线、斜线及其射影）,三证（证平面内一直线与斜线垂直）,一定（定平面）,例题汇总,课后小结,例3 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,BCAM,证明:
4、,PB=PCM是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,再次演练：,分析：按步骤、找三垂,例4：在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证，A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,课堂小结：1、记住小组讨论的结果：三垂线定理、及证明（线线垂直线面垂直线线垂直）.2、三垂线定理的特征（特点）：一面四线三垂直.3、三垂线定理解题的三个步骤：一定平面、二找直线、三证
5、垂直.,下节课内容,4、使用三垂线定理还应注意的问题：三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线、异面直线,三、巩固性练习：1、（1）下列命题中正确的是()两条异面直线在同一平面内的射影必相交与一条直线成等角的两条直线必平行与一条直线都垂直的两直线必平行同时平行于一个平面的两直线必平行（A）、；（B）、；（C）、；（D）以上都不对,3、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（）（A）至多只能有一个直角三角形（B）至多只能有两个直角三角形（C）可能都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形,2、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射
6、影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（）（A）垂直（B）异面（C）相交（D）不能确定,D,D,C,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a,a PO求证：a AO,三垂线定理的逆定理,证明:,例4:求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上,若COA=COB,若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等
7、,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上,结论：,过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,则这条射线在平面内的射影是角平分线,C,A,O,B,则CO在平面AOB内的射影为角AOB的平分线,练习题：正方体ABCD-ABCD E,F分别是AA,AB上的点,ECEF，求证:EFEB,证明:ABCD-ABCD是正方体 BC 平面ABBA,EB是斜线EC在平面ABBA上的射影.,ECEF且EF在平面ABBA内,EFEB,例3:在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平
8、面BCD上的射影。,O,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,思考题：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。,（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。,（4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。,垂,外,内,（2）在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心,垂,三垂线定理总结,（1）定理涉及到的五个元素是,（2）三垂线定理（或逆定理），实质上是平面的一条斜线（或其射影）和平面内的
9、一条直线垂直的判定定理，这两条 直线可以是相交直线，也可以是异面直线,（3）定理的证明思路是：,线线垂直,线面垂直,线线垂直,“一面四线”,（4）三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理，承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域,3、三垂线定理及其逆定理的比较,相同点,(1)结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直；,(2)证明方法相同，都采用了线面垂直法.,不同点,(1)用途不同，原定理用来证明空间两线垂直；而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,定理,逆定理,
