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1、1,高等数学方法,主讲教师:王升瑞,第一讲,2,唯有奋斗,最风流!,惜时如金,3,科技人才中具有独特的、不可替代的重要作用。,数学不仅是一种工具，,而且是一种思维模式；,不仅是一种知识，,而且是一种素养；,不仅是一种科学，,而且是一种文化，,能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学,文化的一个重要标志，,数学教育在培养高素质,4,科学的发展,技术的进步、,经济的腾飞导致人们在,试图探索自然规律和社会规律的过程中越来越多的使,用数学语言和数学的思维方法。,可以看到的是不但自然,科学,经济学离不开数学,一些过去认为与数学无缘的,学科，,如考古学、语言学、心理学、社会学和哲学等,也逐步渗透着数学方法。
2、,这表现出数学是科学的语言、,思维的工具、理性的艺术。,所以大学着眼与培养学生,应用数学知识解决实际问题的意识、,兴趣和能力。达,到促进学生理性思维、,数学素养和创造能力的不断提,高才能培养出高素质人才。,5,一、什么是数学?,数学关于与内容相脱离的形式和关系的科学。,数学的最初和基本的对象是空间形式和数量关系。,已知的形式和关系的基础上定义出来的形式和关系。,一般说来，,现实世界的任何形式和关系都可以成为,数学的对象，,只要它们在客观上与内容无关，,能够完,全舍弃内容，,并且能用清晰、准确、保持着丰富联系,的概念来反映，,使之为理论的纯逻辑发展提供基础。,除此而外，,数学不仅研究直接从现实中
3、抽象出来的,形式和关系，,而且还研究在逻辑上各种可能的、在,6,数学的形成应该从算术和几何出现开始。,在这个时期，在实践基础上形成了一些数学法则。,算术和,几何的最简单概念，,是在日常生活实践基础上形成的，,这要追溯到人类社会发展的远古时代。,对这些知识系,统化及形成一些规律和法则，,是数学本身诞生的时间，,即由积累知识转变成一门科学的时间。,这发生在公元,前23千年间的许多国家：,埃及、巴比伦、中国、印,度。,7,什么是高等数学?,初等数学,研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学,研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数,运动进入了数学,有了
4、变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,8,二、数学的特点,1、被舍弃了内容的形式，,作为独立的对象而出现；,2、数学的结果定理通过逻辑推理由基本概,念和前提得到的，,缓引经验并不是数学论证；,3、数学论断的确定不变性,是它的一个显著特点；,4、存在一系列的抽象阶段，,以及在已有概念的基础,上形成新概念，,是数学所特有的；,5、广泛的适用性是数学的又一个特点；,6、数学与其它科学相比有着独特的地位，,这是因为它,在研究自然界、社会以及思维领域中的形式和关系时，,舍弃了内容且不准借助观察和实验进行论证。,因此，,不能把数学列为自然科学或者社
5、会科学。,9,数学是培养和造就各类,高层次专门人才的共,同基础、,是学生培养理性思维的重要载体。,数学研究的是各种抽象的“数”与“形”的模式,结构，,运用的主要是逻辑、,思辨和推演等理性思维,方法。,大量的事实证明数学不是“脱离实际”的无用,理论，,而是源于实际又指导实际的一种思维创新，,而这种理性思维的训练其作用是其它学科难,以替代的。,这种理性思维的培养对大学生全面素质,提高，,分析能力的加强、,创新意识的启迪都是至关,重要的。,10,人们公认和推崇数学的至高无上恰恰在于它的,每当人们去求解任何一道数学问题，,21 世纪是工程、科学数学化的世纪，,会给人类带意想不到的收获。,“美丽魅力”。
6、,一个数学高峰，,都被誉为摘取科学皇冠上的明珠。,数学以其魅力而为公众所接受,数学是学生接受美感熏陶的一条途径,她是美学四大中心建构,（史诗、音乐、造型和数学）,之一。,数学美也是人审美素质的一部分。,或力图攀登,数学的发展,数学为美学的标准，如平衡、和谐、对称等，,11,对人的精神事件的陶冶起着潜移默化的影响。,实际上数学为之努力的目标是：,将杂乱整理为有序；,使经验升华为规律；,寻求各种物质运动的简洁、,统一的数学表达等,都是数学美的体现，,也是人类对美感的追求，,不同的文化，不同的国籍，不同的民族，,不同的思维方式，世界各国数学家以各自的理解,和认识赋予数学思辨的光芒。,12,培根说：历
7、史使人聪明，诗歌使人机智，,数学使人精细。,马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用,数学，才算真正发展了。,伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书，,如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，,华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。,科学家语录,什么也看不清。,勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。,13,此刻打盹，你将做梦，,学习时的痛苦是暂时的，,未学到的痛苦是终身的；,学习这件事，不是缺乏时间，,学习不是人生的全部，,请享受无法回避的痛苦；,哈佛图书馆的训诫,但是人生的一部分;,只有比别人更早，更勤奋的努力，,此刻学习，你将圆梦；,而是缺乏努力；,学习也无法征服，还能做什么呢？,才
8、能尝到成功的滋味；,14,谁也不能随随便便成功，,狗一样地学习，,绅士一样地玩；,今天不走，明天要跑；,教育程度代表收入；,哈佛图书馆的训诫,没有艰辛，便无所获。,它来自彻底的自我管理和毅力；,即使现在，对手也不停地翻动书页；,15,科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙,是由必然王国通向自由王国的桥梁。,数学方法是数学的灵魂,高等数学方法（上）,16,目 录,第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法第二讲 研究函数与极限的基本方法第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用第四讲 导数应用的方法第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法第七讲 试题
9、类型及解题方法分析,17,前言,一.为什么要学“高等数学方法,1.科学方法的重要性,科学,是什么,为什么:,技术,做什么,怎么做:,科学方法,桥梁与钥匙。,反映自然、,社会、思维的客观规律的分科的,知识体系。,进行物资资料生产所凭借的方法和能力。,18,数学,思维的体操,科学的语言,生活的需要,(思路),(表达),(应用),数学方法,对数学规律的认识,思维方法,解题方法,(是数学的灵魂),2.数学方法的含义,19,二.“高等数学方法”的结构与学习方法,第一部分(第一至第七章),每节包含:方法指导,实例分析,相关问题,第二部分(第八至第十一章),包括综述和提高,(从古典数学向近代数学靠拢),学习
10、方法:,1.掌握数学内容和数学方法相结合；,2.重视分析问题和解决问题的方法；,3.学习要纵横结合,着眼于提高数学素养。,20,第一讲,高等数学中的 分析问题 和 解决问题 方法,21,一.数学模型及数学建模方法,数学模型,客观实际问题内在规律性的数学,具有形式化、符号化、简洁化的特点.,是一种高度抽象的模型.有狭义和广义两种解释.,数学建模方法,实验归纳法,理论分析法,物理模型,数学模型,求解和分析,结构.,许多物理中的概念都要借助于高等数学中的,数学结构才能说的清楚。,22,可无限逼近,例如,为什么用,及,语言定义极限?,用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.,圆内接正n边形的面积为,(正整数
11、),当,时,有,记作,精度要求,边数足够多,找出,利用极限知识可求出:,23,测量圆面积,直接观测量为r,间接观测量为A.,半径真值为,面积真值为,测量圆半径得,计算圆面积为,任给精度,要使,寻找精度,让,记作,24,再如,椅子稳定问题,假设:四条腿一样长;地面为连续曲面.,建模:,设 A,C 两脚与地面的距离之和为,B,D 两脚与地面的距离之和为,不妨设,且对任意,有,证明存在,使,25,证明:设,又,由连续函数零点定理可知,存在,使,即,又知,所以,思考:对长方形板凳的稳定问题如何考虑?,提示：,相邻两脚之和，并旋转1800。,26,二.几种常用的分析问题的方法(P444-455),1.简
12、化方法 2.直观分析法3.逆向分析法 4.类比法,1.简化方法,复杂问题,简单问题,分解法变换法换元法递推法转化法,27,常用几个的初等函数公式,一、分解法,28,29,单调递减。,提示:令,则转化为讨论下述函数,在 t 0 时单调递减.,注意,说明 1.,与,具有相同的极值点,故可用后者代替前者讨论极值,2.有些复合函数的单调性问题,可利用组成它的简单,例1.证明,问题与单调性问题.,函数链的单调性传递得出.如 P445例1.,30,设,求,提示：将函数化为,则,例2.,31,2.直观分析法,通过特例或图形，寻找规律、方法和结论.,与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示.,有关几何应用画出图
13、形找几何关系.,填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.,32,拉格朗日中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,33,渐近线,若,则,有水平渐近线,若,则,有垂直渐近线,若,则,有斜渐近线,34,例2.如何求函数,的斜渐近线,分析:,由图可知,若曲线,有斜渐近线,则必有,从而,35,例如,求曲线,的斜渐近线。,解:,所以曲线有斜渐近线,36,的斜渐近线方程。,
14、解,所求 斜渐近线方程为,例3、求曲线,2005考研,37,练习、曲线,渐近线的条数（）；,A、,1；,B、,2；,C、,D、,3.,则,为垂直渐近线；,，则,为水平渐近线，,解,2012考研,故没有斜渐近线。,38,例4.求笛卡儿叶形线,的渐近线.,(P100 例13),解:令 y=t x,代入原方程得曲线的参数方程:,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,即,39,在,上连续,在,内,存在,连接两点,的直线交曲线,于,且,试证至少存在一点,使,提示:如图所示,有,在,上应用Rolle定理。,对,（P118 题7）,例5.已知,40,逆向思维,反推 执果溯因,反证 利用正命题与逆否命题等价，,反例
15、 找反例说明原命题不正确,3.逆向分析法,多用于否命题。,41,设函数 在 0,1 上二阶可导,且,证明至少存在一点,使,提示:,设辅助函数,在0,1上满足 Rolle 定理,可知有,再对 F(x)在,从结论入手,注意到,利用,上用 Rolle 定理.,例1.,42,在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得,提示:,转化为证,上满足拉格朗日定理条件,使,则只需证明,可见只要对,上用 Cauchy 中值定理.,(P450,考研98),由于,在,则有,及,在,例2.设函数,43,无实根.(P451 例7),提示:,用反证法.假设有实根,代入,上式两边异号,矛盾,假设不真!,利用,显然,则有,例3
16、.证明方程,44,类比是找相似性,是发现问题和解决问题的重要方法。,4.类比方法,45,计算极限,提示:,类比下列极限,例 1,(P453 例9),46,计算极限,提示:,类比下列极限,例 1,(P453 例9),47,利用Lagrange 微分中值定理易推出:,例2.证明下列不等式:,48,提示:将不等式改写为,设,易证,49,三.几种常用的证题方法,1.分析综合法,2.设辅助函数法,3.反证法,证明题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型,通过“执果溯因”寻找证明的途径,利用“由因导果”写出证明过程.,1.分析综合法,50,设 为正实数,试证,提示:,为,上的上凹函数,在
17、 上，,(P473 例12),例1.,满足,51,设,求证,提示:,方法1.设,证明它在,单调增;,方法2.设,证明它在,单调减。,例2.,52,在 上可导,且,证明至少存在,一点 使,提示:,因为,可考虑对函数,在区间 a,b 上用 Cauchy 中值定理.,(P81 例10),例3 设,53,利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如:,寻找辅助函数一般用逆向分析法.,通过设辅助函数,利用微分或积分中值定理 证明等式或方程零点的存在.,通过讨论辅助函数的单调性或最值,证明 相关不等式.,2.设辅助函数方法,54,例1.设,在 上连续且可导,并有 n 个不同的,零点,证明:对任意常
18、数 a,在 上至少有,提示:设辅助函数,n-1 个不同的零点.,55,设函数 和 在 上二阶可导,且,提示:,只要证,且,依据乘积导数法则想到设辅助函数,(用反证法),再证明,上满足 Rolle 定理条件,试证至少存在一点,使,(P475 例15,考研95),例 2.,即,56,3.反证法,反证法是一种逆向分析方法,是通过否定命题的,结论,引导出与题设条件或已知结论矛盾的结果来证明,明原命题的正确性.,反证法多适用于直接推证时已有知识点较少或比较,困难的命题.,如果所证结论中含有,“不可能”、,“不存在”、,“至多”、,“至少”、,“唯一”、,“大于”或“小于”,等字眼时,一般多考虑用反证法.,57,例1.,证明 不存在(为自然数).,提示:,假设,则,矛盾,(P474 例13),58,设 在 上存在二阶导数,且,又,试证在 内,提示:,假设存在,使,则由 R0lle 定理,有,使,再对,在,上用 Rolle 定理,就有,使,矛盾!,(P474 例14),例2.,
