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1、第三章 人寿保险的精算现值,本章结构,离散型寿险的精算现值,连续型寿险的精算现值,人寿保险的精算现值,两类寿险精算现值之间的关系,本章学习目标,理解寿险精算现值的含义 熟悉离散型各险种寿险精算现值的计 算公式 熟练使用换算函数计算离散型各险种的寿险精算现值掌握离散型、连续型寿险精算现值之间的关系,保费的分类-按保费缴纳的方式,趸缴保费（一次性缴纳保费）自然保费(根据当年保险赔付成本确定的保费，年龄越大，缴纳的越多)均衡保费（定期缴纳保费）,人寿保险给付方式的分类,分为：连续型寿险和离散型寿险连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值离散型寿险：保险金在
2、死亡的年末赔付，以离散型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认为是立即赔付）,人寿保险给付上的两大特点,不确定性：是否发生给付不确定 给付的时间不确定给付发生在较长时间以后，其成本受利率影响很大。,净保费的计算原理,收支平衡原理（精算等价原理）：净保费的精算现值保险赔付的精算现值它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入期望现时值等于支出期望现时值 精算现值（包含两层含义）：保险赔付在投保时的期望现值把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求期望值精算
3、现值=趸缴净保费由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以，以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期望值。,第一节 离散型寿险的趸缴净保费,本节的主要目标,理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用 掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净保费,主要险种,n年期定期寿险终身寿险n年期生存保险n年期两全保险延期m年的终身寿险延期m年的n年定期寿险递增终身寿险递减n年定期寿险一般变额寿险,例3.1,100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人数分别为1、2、3、4、5人。每年的赔付支出及其折现值如表所示：,例3.1答案,100张保单的未来
4、赔付支出总现值平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现值）为：134.68元。,基本符号,岁投保的人整值剩余寿命bk+1保险金在死亡年末给付函数vk+1 贴现函数zk+1 保险赔付金在签单时的现时值E(ZK+1)寿险的精算现值（趸缴净保费）,计算原理,K的不同上下限，对应着不同的险种,（一）n年定期寿险,给付函数保险金给付在签单时的现值随机变量趸缴净保费,趸缴净保费的变形公式,思考：该公式的含义？,自然保费 即 中n=1的趸缴净保费.是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种
5、方式。,例3.2,某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），计算趸缴净保费。,例3.2答案,（二）终身寿险,给付函数给付现值随机变量趸缴净保费,例3.3,张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终身寿险。已知：设预定利率为0.08求这份保单的趸缴净保费。,例3.3答案,（三）n年期生存保险,被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支付保险金.只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金给付的时间和数量可以预先确定.保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有只有两种可能,要
6、么给付1,要么不给付,且给付的概率为.,给付函数:给付现值随机变量趸缴净保费,（四）两全保险,两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合给付函数给付现值随机变量趸缴净保费,例3.4,某人在40岁时投保了3年期10 000元两全寿险，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），计算趸缴净保费。,例3.4答案,（五）延期m年终身寿险,保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任范围内的死亡给付保险金。给付函数给付现值随机变量趸缴净保费,（六）延期m年的n年定期寿险,保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保险责任范围内的死亡给付保险金。给付函数给
7、付现值随机变量趸缴净保费,几个关系式,（七）递增型寿险,终身寿险n年定期,（八）递减型寿险,给付函数给付现值随机变量趸缴净保费,一般变额寿险,给付现值随机变量趸缴净保费,例3.5,对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。,例3.5答案,死亡年末给付趸缴净保费公式归纳,递减n年定期寿险,递增终身寿险,n年期两全保险,延期m年的终身寿险,延期m年的n年定期寿险,终身寿险,基本换算函数,在给定预定利率下，基本换算函数按不同年龄排列，编制成换算函数表。,用换算函数表示常见险种的趸缴净保费,例3.6,某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年
8、末赔付。如果在40岁至65岁之间死亡，保险公司赔付50 000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100 000元的保险金；在75岁后死亡，保险金为30 000元。利用换算函数写出这一保单精算现值的表达式。,例3.6答案（1）,这份保单可以分解为下列保单的组合50 000元的25年定期寿险100 000元延期25年的10年定期寿险30 000元延期35年的终身寿险的组合这份保单的精算现值的表达式为：,例3.6答案（2）,或者，将这份保单分解成下列保单的组合30 000元的终身寿险20 000元的35年定期寿险50 000元延期25年的10年定期寿险的组合,练习,现年36岁的人，购买了一张
9、终身寿险保单。该保单规定：被保险人在10年内死亡，则给付数额为15000元；10年以后死亡，则给付数额为20000元。设死亡给付发生在保单年度末。试求其趸缴净保费。,答案,第二节 连续型寿险的精算现值,相关符号,x：投保年龄 t：保单签发到被保险人死亡的时间长度 T：连续型未来寿命，连续型随机变量：t 时刻给付的保险金，一般是事先确定好的：折现函数，：保险金在保单签发时的现值，是 一随机变量。,连续型保险趸缴净保费的计算原理,计算公式 保险金给付在保单签发时的精算现值，即先将t 时刻的保险金转化为现值，然后求其期望值。上式中的积分号的上下限有多种形式，这就对应实际中人寿保险的多种形式。,n年定
10、期保险的趸缴净保费,给付函数给付现值随机变量趸缴净保费,递增终身寿险(一年递增一次）,给付现值随机变量趸缴净保费,递增终身寿险（连续递增）,给付现值随机变量趸缴净保费,递减定期寿险（一年递减一次）,给付现值随机变量趸缴净保费,递减定期寿险（连续递减）,给付现值随机变量趸缴净保费,其他各险种的趸缴净保费,与离散型寿险的趸缴净保费计算原理完全一样,符号也很类似，也有类似的关系.注意掌握各险种及连续型、离散型寿险趸缴净保费之间的异同点。,第三节 UDD假设下连续型寿险和离散型寿险趸缴净保费之间的关系,以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：则有,假设(UDD)下两类趸缴保费
11、之间的关系,关于 的计算,含义：相当于把死亡发生年划分成m个相等的部分，保额在死亡发生的那个第m部分的期末给付1单位的终身寿险的趸缴纯保费在UDD假设下，有当 时，相当于连续寿险的趸缴纯保费,例3.7,某人在30岁时投保了50 000元30年期两全保险，设预定利率为6%，以中国人寿业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），求这一保单的趸缴净保费。其他条件同上。但保单规定：投保的前10年死亡赔付50 000元，后20年死亡赔付30 000元，满期存活给付20 000元。求这一保单的趸缴净保费。,例3.7答案（1）,例3.7答案（2）,考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻赔付9
12、000元并以此类推递减人寿保险。按i=0.06计算（30）的人趸缴纯保费。（1）保障期至第10年底（2）保障期至第5年底,例3.8,例3.8答案,练习,设某30岁的人购买了一份终身寿险保单。该保单规定：若（30）在第一个保单年度内死亡，则在其死亡当时立即给付5000元，此后保额每年增加1000元。试用换算函数表示此递增终身寿险的趸缴纯保费。,补充内容,补充内容,1.利率i2.贴现率:d=i/(1+i)3.名义利率4.名义贴现率5.现值6.终值7.利息力 掌握含义及之间的关系！,补充内容,1.利率i单位资本金在单位时间所产生的利息表示资本的获力水平或获利能力用公式表示：其中，A(t-1)表示第t
13、 年初的资本金，A(t)表示第t年末的资本金。积累函数a(t)：A(t)=A(0)a(t)单利下：a(t)=1+it 复利下：a(t)=（1+i）t,补充内容,2.贴现率d利息的期初支付，是积累额上的减少额如，购买面额为100元的一年期国债，现时支付90元就可买到，则本期国债的利息为10元，是在100元基础上的减少额，而利息在购买时就已获得，10元为贴现额。衡量贴现水平，是单位货币单位时间内的贴现额用公式表示复利且利率不变条件下，有：,补充内容,3.名义利率i（m）名义利率的由来 设本金为1元，年利率为20，则年利息额 为0.2元。若一年支付4次利息，则相当于每次支 付0.05元，即相当于每次
14、利率为20/45。而 按复利计算，本利和为：，一 年总利息为0.2155元，于是年实际利率为21.55,产生了利率的名不副实，与之对应的实际年利率不再是20，此时，20称为名义利率。,补充内容,名义利率与年实际利率的关系 一年支付m次的名义利率 与年实际利率i之间的关系：每次的实际利率为：,补充内容,4.名义贴现率 涵义 如，某债权人借出1元，在一年按月利息2.5于每月初获取利息，并于最后一个月收回1元，则12个月的利息总额为2.51230，为名义贴现率。,补充内容,5.终值：现在的A元在未来时期的价值为B元6.现值：未来时期的B元在当前的价值为A元。在复利的条件下，设年利率为i。则现在的A元在 t 年后的终值为；t 年后的A元现值为其中的v称为折现因子，且,补充内容,7.利息力涵义：表示货币在某一时刻或某一瞬间的获利能力,实际利率不变时，,本章目标,掌握离散型寿险趸缴净保费的计算运用UDD假设下两类寿险趸缴净保费之间的关系计算连续型寿险的趸缴净保费。,
