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1、第十七讲,3.切比雪夫滤波器的设计方法 4.模拟滤波器的频率变换-模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,3.Chebyshev低通滤波器的设计方法,Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点Chebyshev低通滤波器的三个参量Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布Chebyshev低通滤波器的设计步骤,提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这
2、样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数,Chebyshev型滤波器的幅度平方函数（续）,当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 2-1；当N=3时，C3(x)=4x 3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)-C N-1(x),前两项给出后才能迭代下一个,Chebyshev多项式的特性,N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,N的影响：N越大阻带衰减越快阶数N影响过渡带的带宽，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大
3、值与最小值的总个数,2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：,通带外：迅速单调下降趋向0,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和 间等波纹起伏,切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线,3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：,：通带截止频率，给定,：表征通带内波纹大小,由通带衰减决定,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)为：,令s=s/p，由s1，有,可以解出,滤波器阶数N 的确定,3dB截止频率c的确定,按照(6.2.19)式，有,通常取c1，因此,上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,令,书上该公式有错,4）Chebyshev低通滤波器幅度平
4、方函数的极点分布,以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。有用的结果:设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp，短半轴为ap的椭圆上的点。,设N=3，平方幅度函数的极点分布如图所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即,(6.2.32),式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2
5、.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为,(6.2.33a),去归一化后的传输函数为,图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤:,归一化：,1）确定技术指标：,2)根据技术指标求出滤波器阶数N及：,其中：,3）求出归一化系统函数：,或者由N和，直接查表得,其中极点由下式求出：,4）去归一化,例设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。解(1)滤波器的技术指标：,(2)求阶数N和：,此过程可直接查表,(3)求归一化
6、系统函数Ha(p):,由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：,(4)将Ha(p)去归一化，得到：,此过程也可直接查表完成,小结：模拟滤波器设计的步骤,通带截止频率、通带衰减,阻带截止频率、阻带衰减,确定滤波器的技术指标：,将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数,Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器,构造归一化低通原型滤波器的系统函数,反归一,4.模拟滤波器的频率变换-模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标
7、转换为低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，在通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。,符号规定,1)低通到高通的频率变换,和之间的关系为,低通到高通的频率变换关系为,模拟高通滤波器的设计步骤如下：,(1)确定高通滤波器的技术指标：(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：低通滤波器通带截止频率；低通滤波器阻带截止频率；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。,例6.2.3 设计高通滤器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅
8、度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,解 高通技术指标要求：fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB 归一化频率,低通技术要求：,设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故,求模拟高通H(s)：,带通与低通滤波器的幅度特性,与的对应关系,2)低通到带通的频率变换,由与的对应关系，得到：,由表知p对应u，代入上式中，有,带通滤波器的归一化带宽为1,低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。,由于,将q=j代入上式，得到：,为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：,(6.2.44),(6.2.45),归一化低通到任
9、意带通系统函数的转换公式,两个环节:1.归一化低通到归一化带通；2.归一化带通到任意带通,下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l 下阻带上限频率 s1,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=u-l 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,(2)确定归一化低通技术要求：s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s(3)设计归一化低通G(p)。(4)反归一:直接将G(p)转换成带通H(s)。,6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=220
10、0rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：0=21000rad/s,p=3dB s1=2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s;0=5,s1=4.15,s2=6,(2)模拟归一化低通技术指标要求：,取s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表，得,(4)求模拟带通H(s)：,3)低通到带阻的频率变换,低通与带阻滤波器的幅频特性,图6.2
11、.11 低通与带阻滤波器的幅频特性,B作为一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul,表6.2.3 与的对应关系,低通到带阻的频率变换公式,直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,根据与的对应关系，可得到：,p=1 令p=j，并去归一化，可得,(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：,设计模拟带阻滤波器的步骤：,(2)确定归一化模拟低通技术要求，即：取绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s(3)设计归一化模拟低通G(p)(4)转换成带阻滤波器H(s)。,例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905ra
12、d/s,s1=2980rad/s,s2=21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解：(1)模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;20=lu=4+21000025,B=u-l=2200;,l=l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9,s2=5.1;20=lu=25(2)归一化低通的技术要求：,(4)带阻滤波器的H(s)为,(3)设计归一化低通滤波器G(p):,模拟滤波器设计的步骤,通带截止频率、通带衰减,阻带截止频率、阻带衰减,确定滤波器的技术指标：,将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数,Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器,构造归一化低通原型滤波器的系统函数G(P）,首先要掌握低通原型滤波器的设计方法,模拟滤波器设计步骤小结,（1）确定需要设计的“实际AF”H(j)指标,(2)将实际AF转换成相应低通AF指标,(3)根据实际滤波特性要求，选择合适的AF类型,设计相应的归一化低通G（P),(4)频率变换,将G(P)转化成实际AF系统函数,
