北大离散数学cha.ppt

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1、代数系统简介,这部分内容属于近世代数的范畴,近世代数是研究具有运算的集合,它第一次揭示了数学系统的多变性与丰富性。代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析,研究抽象数据结构的性质及操作,同时也是程序设计语言的理论基础。我们将介绍代数系统的最基本概念和最基本理论,以及几类常用的代数系统,它们是:半群,幺半群,群,环,域,格和布尔代数。本课程在第五,六章中介绍代数系统的内容。,第五章 代数系统的一般性质,第一节 二元运算及性质,内容:二元运算,运算律,特殊元素。,重点:(1)一元和二元运算的概念,,一般:吸收律,消去律,幂等律。,一、二元运算。,一、二元运算。,但减法,除法不是。,但除法不是。,上

2、求相反数的运算是一元运算。,但加法,减法不是,,而求倒数是一元运算。,3、一元,二元运算表。,解:,二、有关运算律。,二、有关运算律。,三、一些特殊元素。,注:(1)若幺元存在必唯一。,从而没有幺元。,注:(1)若零元存在必唯一。,从而也没有零元。,3、逆元:,(1),解:加法,乘法都不是二元运算。,(2),解:加法不是二元运算,,乘法是二元运算。,(3),解:加法,乘法都是二元运算。,(4),解:加法不是二元运算,,乘法是二元运算。,(5),解:加法不是二元运算,,乘法是二元运算。,,满足结合律。,时,无逆元。,例7、设,,二元运算,和,定义,问运算,如下表,和,是否可交换的;是否有零元;,

3、是否有幺元;如果有幺元,指出哪些元素有逆元;,逆元是什么?,(1),没有零元,,是幺元,,互为逆元。,(2),是左零元,,是幺元,,(2),解:但它们的逆元都不存在。,四、其它一些运算律和特殊元素。(了解),四、其它一些运算律和特殊元素。(了解),四、其它一些运算律和特殊元素。(了解),3、幂等元。,上的加法运算都不满足幂等律,,但它们都有幂等元,幺元就是幂等元。,第二节代数系统及其子代数和积代数,内容:代数系统,子代数,积代数。,了解:积代数的概念。,一、代数系统。,1、定义:,2、代数常数(特异元素)。,二、子代数系统。,1、定义:,2、平凡子代数,真子代数。,三、积代数。,例如:,例如:

4、,和,的积代数为,,,,,,,第三节 代数系统的同态与同构,内容:代数系统的同态映射,同构映射。,一、同态映射,同构映射的概念。,1、定义:,满同态,记,单同态,同构,记,但不是单同态,则对,2、自同态,自同构。,则对,则对,则对,3、同态,同构概念的推广。,二、性质。,二、性质。,第五章 小结与例题,一、二元运算及其性质。,1、基本概念。,一元运算和二元运算;二元运算的结合律,交换律,分配律,幂等律,吸收律,消去律;二元运算的特殊元素:幺元,零元,逆元;一元运算和二元运算的运算表。,一、二元运算及其性质。,2、运用。,(2)求幺元,零元,逆元。,(3)列出一元运算和二元运算的运算表。,二、代

5、数系统及其子代数和积代数。,1、基本概念。,代数系统;子代数;积代数。,2、运用。,判断代数系统的子集能否构成子代数系统。,三、代数系统的同态与同构。,1、基本概念。,同态,单同态,满同态;同构。,2、运用。,(1)实数集,解:加、减、乘是二元运算,,除不是二元运算。,(2)非零实数集,解:加、减不是二元运算,,乘、除是二元运算。,(3)正整数集,解:加、乘是二元运算,,减、除不是二元运算。,(4),解:乘是二元运算,,加、减、除都不是二元运算。,(5),解:乘、除是二元运算,,加、减不是二元运算。,(1)求,解:,解:因对任意的正整数,(3)求幺元,零元。,不存在零元。,解:,解:对任意的,(3)求幺元。,解:对任意的,故0是幺元。,解得:,(1),解:可交换;,但不可结合,,无幺元。,(2),解:可交换,,可结合,,无幺元。,(3),解:不可交换,,(3),解:不可结合,,无幺元。,(4),解:可交换,,无幺元。,不可结合,,

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