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1、1,随机事件及其概率,概率论与数理统计,第一章,2,序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,3,第一章 概率论的基本概念,第一节 样本空间、随机事件,第二节 概率、古典概型,第三节 条件概率、全概率公式,第四节 独立性,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,4,在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观
2、察正反两面出现的情况.,(2)随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,5,结果有可能为:,1,2,3,4,5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发,观察弹落点的情况.,结果:弹落点会各不相同.,6,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品、次品.,实例5 过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.,7,实例6 出生的婴儿可能是男,也可能是女.,实例7 明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.,8,随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的
3、统计规律性,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,9,一、随机试验,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验。,（1）可以在相同的条件下重复地进行；,（2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；,（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,10,说明,随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.,11,实例“抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况”.,分析,(1)试验可以在相同的条件下重复地
4、进行;,(2)试验的所有可能结果:,正面、反面;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,12,(1)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,(2)从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(3)记录某公共汽车站某时刻的等车人数.,13,样本空间与随机事件,随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生,而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件）。通常用大写字母A、B,表示。,基本结果：（1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。（2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。
5、,14,随机事件中有两个极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件。每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件。,基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。不可能事件不含任何样本点，它就是空集。,样本空间：随机试验的全体基本事件组成的集合称为样本空间。记为。,15,1事件的包含,事件发生,事件发生,设、为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称包含于，记为，或包含，记为.,事件之间的关系和运算,实例 A=“长度不合格”必然导致 B=“产品不合格”,所以,事件之间的关系,（事件A发生必然导致事件B发生）,16,welcome
6、,17,2.事件的相等,若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等。记为.,和同时发生或者同时不发生,即A与B中的样本点完全相同,3.事件的和（并）,将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为 和的和事件，记为，可读成并或加.有时也可记为.,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此 C=“产品不合格”是A=“长度不合格”与B=“直径不合格”的并，,即,A和B两个事件至少有一个发生 AB,19,4.事件的积（交）,将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘.有时也可记为.,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
7、径是否合格所决定,设“产品合格”,“长度合格”,“直径合格”,20,21,和事件与积事件的运算性质,22,5.事件的差,从事件中将属于事件的基本事件除去,剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件,记为.,事件发生而事件不发生,实例 设“长度合格但直径不合格”,“长度合格”,“直径合格”.,23,事件、不可能同时发生,6.事件的互斥（互不相容）,若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为.,注意 基本事件是两两互斥的.,24,7.事件的逆（对立事件）,称必然事件和事件的差为的逆事件，记为，,如果和互逆，则也可称和互为对立事件,事件不发生,实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”,若
8、事件A1,A2,An为两两互不相容的事件，并且A1+A2+,+An=，称A1,A2,An构成一个完备事件组。,25,26,事件的运算规律,由集合的运算律，,易给出事件间的运算律.,设,则有,(1),交换律,(2),结合律,(3),分配律,27,(4),自反律,(5),对偶律,注：,上述各运算律可推广到,件的情形.,有限个或可数个事,28,(6),吸收律,(7),替换律,29,例1.1 设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：（1）A发生而B与C都不发生：（2）A，B都发生而C不发生：（3）A，B，C至少有一个事件发生：（4）A，B，C至少有两个事件发生：（5）A，B，C恰好有
9、两个事件发生：（6）A，B，C恰好有一个事件发生：（7）A，B至少有一个发生而C不发生：（8）A，B，C都不发生：,例1.2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3）。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。,30,解：三次中全取到合格品：A1A2A3;三次中至少一次取到合格品:A1+A2+A3;三次中恰有两次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品。,31,32,甲,乙,丙三人各射一次靶,记“甲中靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,则可用上述
10、三,个事件的运算来分别表示下列各事件:,(1),(3),(4),(2),“甲未中靶”,“甲中靶而乙未中靶”,“三人中只有丙未中靶”,“三人中恰好有一人中靶”,(5),“三人中至少有一人中靶”,或,33,(10),(9),(8),“三人中至少有两人中靶”,“三人中均未中靶”,“三人中至多一人中靶”,(11),“三人中至多两人中靶”,或,(6),(7),“三人中至少有一人未中靶”,“三人中恰有两人中靶”,或,34,35,一、概率的统计意义,三、概率的几何定义,二、概率的古典定义,1.2 随机事件的概率,五、概率的性质,四、概率的公理化定义,36,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的
11、是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件发生可能性大小的度量,事件发生的可能性越大，概率就越大！,37,一、概率的统计意义,定义,显然,次数为,频率.,则称,为事件 发生的,试验序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0.502,实例 将一枚硬币抛掷 5 次
12、、50 次、500 次,各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率.,随n的增大,频率 fn(A)呈现出稳定性,38,从上述数据可得,(2)抛硬币次数 n 较小时,频率fn(A)的随机波动幅度较大,但随 n 的增大,频率fn(A)呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率fn(A)总是在 0.5 附近摆动,且逐渐稳定于 0.5.,(1)频率有随机波动性,即对于同样的 n,所得的fn(A)不一定相同;,39,实验者,德 摩根,蒲 丰,40,重要结论,当实验次数 n 较小时,事件发生的频率波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
13、概率,41,概率的统计定义,定义,在相同条件下进行n次重复试验,若事件A,发生的频率,随着试验次数n的增大而,稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概,率，记为P(A).,42,2、概率的古典定义,定义1.4：设随机试验E满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。,古典概型 中事件A的概率计算公式为,43,一个袋子中装有 10 个大小相同的球,其中 3,个黑球,7 个白球,求:,(1),从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的,概率,解,以及两个球全是黑球的概率.,(1),10 个球中任取两球的取法有,种,其
14、中,种取法,两个球均是黑球的取法有,种,好取到一个白球一个黑球”,为,为黑球”,则,事件“刚,事件“两个球均,44,例2 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配到同一个班的概率.,解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为,（1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”,45,（2）设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为，故由乘法原理，B包含样本总数为,46,例3 两封信随机地向标号为、的4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。解：设事件A表示第二个
15、邮筒只投入1封信。两封信随机地投入4个邮筒共有42种等可能的投法，而组成事件A的不同投法只有C21C31种。有古典概型公式P(A)=C21C31/42=3/8,47,3、几何概型,若试验具有如下特征:,48,例 两人相约在某天下午200300在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.,解 设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间,而两人能会面的充要条件是x-y20，即x-y20且y-x20.,49,例 两人约定上午9:0010:00在公
16、园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率。解：设两人到达时刻分别为X、Y，则 0X、Y 60，事件一人要等另一人半小时以上等价于 如图阴影部分所示,50,练习 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。,51,解：,设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别是x、y，由题意0 x 24，0 y 24,x,y,0,2,1,24,24,设事件A表示两艘轮船中的任何一艘都不需要等候码头空出，等价以下2种可能情况,（1）若甲先到码头（即x y）,则 有y-x1;（2
17、）若乙先到码头（即y x）,则 有 x-y 2；事件A包含的基本事件可以用图中阴影部分表示,52,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.,4、概率的公理化定义,53,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,54,定义:,设E是随机试验,是它的样本空间,对于,E的每一件事件A 赋予一个实数,记为P(A),
18、若P(A)满,足下列三个条件:,1.,非负性:,对每一个事件A,有,2.,完备性:,3.,完全可加性:,对任意可数个两两互不相容的,则称 P(A)为事件A的概率.,55,1,特别地，当A与B互不相容时，,56,特别地，,57,例1 设A,B为两个随机事件，,例2 设A,B为两个随机事件，,例3 设A,B互不相容，,58,59,60,解,得,所求概率为,61,62,练习 对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）5人生日都不在星期日的概率；（3）5人生日不都在星期日的概率。,解：（1）设A1表示5人生日都在星期日，基本事件总数75，有利事件仅1个，故 P(A1)=1/75，（2）设A2表示5人生日都不在星期日，有利事件 65个，故P(A2)=65/75（3）设A3表示5人生日不都在星期日，P(A3)=1-P(A1)=1-1/75,
