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1、实验3 一元函数图形的绘制,内容提要现在计算机数学都具有良好的作图功能,对于一元显式函数,只要输入函数的表达式,并键入简单的作图命令,计算机的显示屏上就会出现所求作函数的图形.不管函数的表达式多么复杂，其图形都能被迅速的显示出来。与传统的手工描点作图法和分析作图法比较，计算机的作图的优越性是快速、准确。因此，读者应学会如何使用诸如Mathematica这样的软件来制作函数图形。,一元函数图形的绘制,但是应该指出，如果脱离了微分的知识而单纯的依赖计算机作图，也往往不能获得理想的函数图形。这是因为在一定的条件下，由于计算机的显示的局限性，它描绘出来的图形往往会“丢失”一些重要特征，出现“失真”的现
2、象。在实验中，我们将结合具体的函数（例2）来说明这一问题以及相应的处理方法，从中我们可以看到微积分知识与计算机的相互作用。,一元函数图形的绘制,实验步骤我们采用软件，先键入函数y=f（x）的具体表达式，然后利用作图命令，并选定自变量x与因变量y的取值范围（一般可由系统默认），计算机执行后就在显示屏上出现函数y=f（x）的图形。例1绘出函数y=的图形，并由此观察的最大值的近似值。解（1）定义函数，先键入:,一元函数图形的绘制,并运行，不妨先在区间0，10上作出f（x）=的图形并取f（x）纵坐标的显示范围为0，2，为方便观察，我们加上网格线，键入:运行后，就得到f(x)的图形，易见当x4后图形呈下
3、降趋势，并在2,4间内有f(x)一极大值(即为f(x)的最大值)，该区间内有函数值在1.25与1.5之间，且最小值在该区间端点取到即为minf(2),f(4),通过键入:,一元函数图形的绘制,并运行可得1.414,即函数f(x)最大值在1.414与1.5之间.(2)为了较精确地观察出f(x)的最大值,在区间2,4上作出的图形并取纵坐标显示范围为1.414,1.5,键入:,一元函数图形的绘制,运行后,从图12中可见的最小值约为1.44与1.46之间,且明显靠近1.44,因此我们取1.44.,一元函数图形的绘制,例2 绘出函数f(x)=2x6+3x5+3x3-2x2的图形.解(1)我们不妨先f(x
4、)的自变量显示范围设为-5,5,这时Mathematica将自动选择相应y的显示范围约为-100,2100(如图13)(注意在不同的软件下y的显示范围将是不同的,既使同在Mathematica下,有时也会的不同的显示范围),这时图中的曲线差不多是y=f(x)图形的”全貌”,它与y=f(x)的图形很相似.我们看到大约在-2x1.2的范围内的图形近乎是”直线段”,但这并不是曲线y=f(x)的真实写照.,一元函数图形的绘制,(2)现在我们将自变量的显示范围调整为，,相应的的自动选择范围约，为,就获得如图所示的（）的图形,看出大约在.出函数有一个极小值(也就示函数的最小值)并且函数在（，）单调减少,在
5、内（，）单调增加,同时我们发现在x=与的附近，曲线的凸向似乎有所改变总之，在图显示的直线段内被埋没了许多重要的信息，然而，从图中获得的这些印象是否属实呢？,一元函数图形的绘制,为了证实这种印象，我们求出（）542（）4321分别在，及作出（）的图形，借助图形（图（）（），并通过标尺可看到当，时，（）,一元函数图形的绘制,也就证实f（x）了在（，.）内单调减少的；同时纠正了（）在（.，）内单调减少的错误印象，实际情况是（）在（，.）几（，.）内单调减少，在（.，）及（.,）内单调增加。2再在，作出（）的图形借助图形（图），我们发现，当.及=.,一元函数图形的绘制,这就证实了图形在=.及=.处各有一个拐点，并且在（，.）及（.，）内是向下凸的，在（.,.）是向上凸的,一元函数图形的绘制,（）我们利用了函数微分的有关知识找出了这些关键点，它们是极值点=.、=,=.及拐点对应得横坐标=.,=.，又为了清楚得反映函数图形在这些点附近的走势，设定自变量显示范围为.，.，这时显示的图形才反映了函数f（）在这部分2曲线的真实面貌。如有必要可将图13、图14与图17打印出来，成为由全貌至局部的一组图形。由此可见，通过人与机器的相互作用，在微分理论的指导下运用计算机研究函数图形，才能作到真正便捷与准确。,
