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1、第二章 z变换,点击下列选项：,2-1 Z变换的定义及收敛域,返回2,一.Z变换定义,二.收敛域,三.常用序列的收敛域,四：求收敛域举例,一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：,*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。,引言：离散时间信号与系统变换域分析法：A）Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程 B)Z变换的应用范围更广,返回2.1,二.收敛域 1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.,2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,返回2.1,三.常用序列的收敛域(1).预备知识 阿贝尔定理:如果级数，在 收敛,那么,满足
2、0|z|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。,返回2.1,同样,对于级数，满足 的z，级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。,返回2.1,(2).有限长序列,返回2.1,返回2.1,3.右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,返回2.1,收敛域,第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|;Rx-为最小收敛半径。,返回2.1,(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：,返回2.1,(5)左边序列,返回2.1,第二项为有限长序列,其收敛域;第
3、一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.,返回2.1,双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。,(6)双边序列,返回2.1,第二项为左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序列(因果)其收敛域为：,当Rx-Rx+时，其收敛域为,返回2.1,其收敛域应包括即充满整个Z平面。,例2-1 求序列的Z变换及收敛域。解：这相当时的有限长序列，,返回2.1,四：求收敛域举例,当时，这是无穷递缩等比级数。,例2-2 求序列的Z变换及收敛域。解：,返回2.1,*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。,收敛域：,返回2.1,例2-3求序列 变换及收敛域。,同样
4、的，当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,返回2.1,本节结束,2-2 Z反变换,一.定义,二.求Z反变换的方法,1.留数法,2.部分分式法,3.幂级数展开法(长除法),返回2,一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。,返回2.2,C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,c,返回2.2,二.求Z反变换的方法-1.留数法,教材P50页有对Z反变换的推导,.留数定理：,为c内的第k个极点，为c外的第m个极点，Res 表示极点处的留数。,返回2.2,2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：,留数的
5、求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：,返回2.2,例2-4 已知,解:1）当n-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此,，求z反变换。,返回2.2,2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点，且分母比分子的Z的阶数至少高2:,返回2.2,2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具
6、有 或 的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。,返回2.2,通常，X(z)可表成有理分式形式：,因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：,返回2.2,的z反变换。,例2-5利用部分分式法，求,解：,分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。,返回2.2,返回2.2,3.幂级数展开法(长除法)因为 x(n)的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数
7、，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若 收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。,返回2.2,例2-6 试用长除法求的z反变换。,解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列),*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。,返回2.2,返回2.2,返回2.2,返回2.2,返回2.2,返回2.2,本节结束,2-3 Z变换的基本性质和定理,共有线性、移位、Z域尺度、Z域求导等12条性质,返回2,如果则有：,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。
8、,1.线性,返回2.3,例2-7已知,求其z变换。,解：,返回2.3,2.序列的移位,如果则有：,例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,返回2.3,3.Z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,返回2.3,4.序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,返回2.3,5.共轭序列,如果,，则,证明：,返回2.3,6.翻褶序列,如果,，则,证明：,返回2.3,7.初值定理,证明：,返回2.3,8.终值定理,证明：,返回2.3,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。,返回
9、2.3,9.有限项累加特性,证明：,返回2.3,返回2.3,10.序列的卷积和(时域卷积定理),返回2.3,证明：,返回2.3,例2-9,解：,返回2.3,11.序列相乘(Z域卷积定理),其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）,返回2.3,例2-10,解：,返回2.3,返回2.3,12.帕塞瓦定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）,如果,则有:,返回2.3,*几点说明：,本节结束,返回2.3,2-4 序列的Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系,一.Z变换与拉氏变换的关系,二.Z变换和
10、傅氏变换的关系,三.序列的傅氏变换,返回2,1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号，为其理想抽样信号，则,一.Z变换与拉氏变换的关系,返回2.4,！复习回顾：连续信号的FT与LT关系,Go！,序列 的z变换为，考虑到,显然，当 时，序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,返回2.4,又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系,则 与 的关系为：,解释,2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：,因此，;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。,返回2.4,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆
11、；,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内；,0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外。,(1).r与的关系,返回2.4,=0，S平面的实轴，=0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线，=0T,Z:始于 原点的射线；S:宽 的水平条带，整个z平面.,(2).与的关系（=T）,返回2.4,二.Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆 上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且。,返回2.4
12、,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。,返回2.4,三.序列的傅氏变换,1.正变换:,2.反变换:,返回2.4,本节结束,2-5 傅氏变换的一些对称性质,一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,返回2,2.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)
13、则称序列为共轭反对称序列。同样有：,根据定义，则,这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。,返回2.5,二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,返回2.5,返回2.5,三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和,其中，,返回2.5,四、两个基本性质,证明：,返回2.5,证明：,返回2.5,五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系,1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部,证明：,返回2.5,2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部,证明：,返回2.5,六、序列
14、的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系,1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,返回2.5,2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部 再乘以j。,证明：,返回2.5,七、序列为实序列的情况,返回2.5,返回2.5,返回2.5,8.实序列也有如下性质：,返回2.5,本节结束,2-6 离散系统的系统函数及频率响应,一.系统函数,二.因果稳定系统,三.系统函数和差分方程的关系,四.系统的频率响应的意义,五.频率响应的几何确定,六.IIR系统和FIR系统,返回2,线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应,H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应
15、。,一.系统函数:,返回2.6,我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)|，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。与充要条件|h(n)|是等价的,二.因果稳定系统,返回2.6,三.系统函数和差分方程的关系,线性移不变系统常用差分方程表示：,取z变换得：,对上式因式分解,令,得：,返回2.6,四.系统的频率响应
16、 的意义 考察系统对不同频谱成分的传输能力：均匀传送或衰减 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换称作系统频率响应。,也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。,对于线性移不变系统：,返回2.6,五.频率响应的几何确定,1.频率响应的零极点表达式,返回2.6,模：,相角：,返回2.6,2.几点说明(1).表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。(3).单位圆附近的极点对幅度响应的
17、峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。,返回2.6,零点在单位圆上0,处；极点在,处。,。,。,返回2.6,例2-14 设一阶系统的差分方程为:,解:对差分方程两边取Z变换:,，a为实数,求系统的频率响应。,返回2.6,这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:,返回2.6,零极点分布情况,0,0,-1,0,a,1,返回2.6,六.IIR系统和FIR系统,1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长,即n时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统。,返回2.6,2.有限长单位冲激响应(FIR)系统 h(n)为有限长序列的系统。,返回2.6,本节结束,取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系,返回,傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系,由傅里叶变换的定义式，当f(t)满足狄义赫利条件时，可得到如下傅里叶变换式：,用一个衰减因子e-t(为任意实数)去乘f(t)，使其收敛以满足绝对可积条件,这样代入傅里叶变换式中，就变成了e-（+j）t。我们定义一个符号s,使s=（+j）t，最终得到一个更广义的傅里叶变换，这就是“拉普拉斯变换”！,傅里叶变换与拉普拉斯变换的自变量取值范围对比如图：,因而傅里叶变换是拉普拉斯变换的子集！,返回,
