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1、1.6 连续函数,一、函数的连续性,1.函数的增量,可见,函数,在点,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,2.连续的定义,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例1,证,由定义2知，,3.左、右连续,定理,根据函数极限、左
2、右极限定义。,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在(a,b)上每一点都连续的函数,叫做(a,b)上,的连续函数,或者说函数在(a,b)上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,连续区间,连续函数集,例3,证,二、函数的间断点,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,例4,解,如例4中,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处,函数的定义,则可使其变为连续点.,例5,解,第二类间断点,例6,解,例7,解,例8,解,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,
