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1、1,第8节 子群的陪集,主要内容:子群的陪集Lagrange定理Lagrange定理的应用正规子群与商群,预备知识：等价关系等价类集合的划分商集,2,陪集的定义,定义1 设H是群G的子群，aG.令aH=ah|hH称aH是子群H在G中的左陪集.称a为aH的代表元素.,令Ha=ha|hH，称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素.,3,陪集的实例,例1 设G=e,a,b,c是Klein四元群，H=(a)=e,a是G的子群.H所有的左陪集是：eH=e,a=H,aH=a,e=H,bH=b,c,cH=c,b不同的左陪集只有两个，即H和b,c.,H所有的右陪集？,4,陪集的实例,例2 设 S=1
2、,2,3,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132).,H所有的左陪集是：(1)H=(1),(12)=(12)H=H(13)H=(13),(132)=(132)H(23)H=(23),(123)=(123)H 不同的左陪集只有3个,即H,(13)H,(23)H.,H=(1),(1 2)是S3的子群.,H所有的右陪集是：H(1)=(1),(1 2)=H(12)=H H(13)=(13),(123)=H(123)H(23)=(23),(132)=H(132)不同的右陪集只有3个,即H,H(13),H(23).,5,左陪集的基本性质,性质1 设H是群G的子群，则(1)eH=H
3、;(2)aG 有aaH.,性质2 设H是群G的子群，则a,bG有 abH baH a1bH aH=bH.,性质3 设H是群G的子群,则(1)aG，aH;(2)a,bG，aH=bH 或 aHbH=;(3)aH=G.,性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的集族是G的一个划分.,6,右陪集的基本性质,性质1 设H是群G的子群，则(1)He=H;(2)aG 有aHa.,性质2 设H是群G的子群，则a,bG有 aHb bHa ba1H Ha=Hb.,性质3 设H是群G的子群,则(1)aG，Ha;(2)a,bG，Ha=Hb 或 HaHb=;(3)Ha=G.,性质4 设H是群G的子群，则H的所有右
4、陪集构成的集族是G的一个划分.,7,有关陪集的问题,设H是群G的子群。H的所有左陪集都是G的非空子集。请问：H的左陪集一定是G的子群吗？,判别群G的非空子集是其子群的方法？判别群G的非空子集不是其子群的方法？,8,性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则|Sl|=|Sr|.,陪集的基本性质,性质5 设H是群G的子群，则 a,bG，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb|.,9,Lagrange定理,定理1（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|G:H 其中G:H 是H在G中的不同左陪集(或右陪集)个数，称为H在
5、G 中的指数.,证 设G:H=r，a1,a2,ar分别是H 的r个不同右陪集的代表元素，G=Ha1Ha2Har|G|=|Ha1|+|Ha2|+|Har|由|Hai|=|H|，i=1,2,r,得|G|=|H|r=|H|G:H,10,Lagrange定理的推论,推论1 设G是n阶群，则aG，|a|是n的因子，且有an=e.证 任取aG，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子.(a)是由a生成的子群，若|a|=r，则(a)=a0=e,a1,a2,ar1即(a)的阶与|a|相等,所以|a|是n的因子.从而an=e.,11,Lagrange定理的推论,推论2 对阶为素数的群G，必存在aG使得G=(a).
6、证 设|G|=p，p是素数.由p2知G中必存在非单位元.任取aG，a e，则(a)是G的子群.根据Lagrange定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是 p或1.显然(a)的阶不是1，这就推出G=(a).,12,Lagrange定理的应用,命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群.,证 设a为G中任意元素，有a1=a.任取 x,yG，则 xy=(xy)1=y1x1=yx，因此G是Abel群.,13,Lagrange定理的应用,例3 证明 6 阶群中必含有 3 阶元.,证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶或6阶.若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3
7、 阶元.若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元.如若不然，G中只含1阶和2阶元，即aG，有a2=e，由命题知G是Abel群.取G中2阶元 a 和 b，a b，令 H=e,a,b,ab，则H 是G的子群，但|H|=4，|G|=6，与Lagrange定理矛盾.,14,例4 证明阶小于6 的群都是Abel群.,Lagrange定理的应用,证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群.2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的循环群，都是Abel群.设G是4阶群.若G中含有4阶元，比如说a，则G=(a)是循环群，可知G是Abel群.若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可知G也是Abel
8、群.,15,注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可 知：G的子群的阶必是n的一个因子.但反过来，则未必成立，即：对n的任一因子d，G未必有一个d阶子群.例如：交代群A4中就没有6阶子群.但在群论中有以下结论：结论：若G是一个有限交换群，则Lagrange定理的 逆成立.例如：若G=(a)是n阶循环群，则对n的每个正因子 d，G有且仅有一个d 阶子群.,Lagrange定理的注释,16,等价关系与子群的陪集,设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,bG,(a,b)R a1bH则 R是G上的等价关系，且aR=aH.,设R是非空集合X上的等价关系,则 aX,aa。,等价类的性质:,
9、陪集的性质:,设H是群G的子群，则(1)eH=H;(2)aG 有aaH.,17,等价类的性质:,陪集的性质:,设H是群G的子群，则a,bG有 abH baH a1bH aH=bH.,设R是非空集合X上的等价关系,则a,bX,有(a,b)R ab ba a=b.,等价关系与子群的陪集,18,设R是非空集合X上的等价关系,则(1)aX,a。(2)a,bX，a=b 或 ab=;(3)a=X.,等价类的性质:,陪集的性质:,设H是群G的子群,则(1)aG，aH;(2)a,bG，aH=bH 或 aHbH=;(3)aH=G.,等价关系与子群的陪集,19,左陪集的定义:,等价类的定义:a=b|(a,b)R,
10、bG,设H是群G的子群，aG.子群H在G中的左陪集：aH=ah|hH,由于 a,bG,(a,b)R a1bH,所以，子群H在G中的左陪集：aH=ah|hH=b|(a,b)R,bG=a=b|a1bH,bG,等价关系与子群的陪集,20,正规子群与商群,定义1 设H是群G的子群。如果aG有aH=Ha，则称H是群G的正规子群或不变子群，记作HG.,定理1 设H是群G的正规子群，则H的所有左陪集构成的集合对群子集乘法形成一个群.,定义2 群G的正规子群H的所有左陪集构成的集合对群子集乘法形成一个群称为G对H的商群，记为G/H.,21,正规子群的判别,定理2(正规子群的判别定理)设H是群G的一个子群，则(1)H是群G的正规子群 aG有aHa-1=H;(2)H是群G的正规子群 aG有aHa-1 H;(3)H是群G的正规子群 aG,hH有aha-1 H.,注意：(1)定理2的前提条件是：H是群G的一个子群，而不是：H是群G的一个非空子集.(2)子群与正规子群之间的关系.,22,主要内容：子群陪集的定义和性质Lagrange定理Lagrange定理的一些简单应用正规子群的定义和判别,总 结,基本要求：熟悉陪集的定义和性质熟悉Lagrange定理及其推论，学习简单应用熟悉正规子群的定义及商群的构造,
