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1、1,第5-4讲 陪集与拉格朗日定理,1.左陪集和右陪集2.拉格朗日定理3.拉格朗日定理的推论4.第5-4讲 作业,2,1、左陪集和右陪集,定义1 设是群的子群，aG。集合 aH=a*h|hH,Ha=h*a|hH,分别称为由a确定的H在G中的左陪集和右陪集。a称为代表元素。,注：1、群的每个子集不见得都是群。子群的陪集是群论中的一个重要内容，由这一概念可以引导出一个重要结果，即拉格朗日定理。它表述了群与其子群之间存在的一个重要关系。2、这里只就左陪集进行讨论，右陪集也有类似的结论。,3,2、拉格朗日定理（1）,定理1（拉格朗日定理）设是群的一个子群，则（1）R=|a,bG,a-1*bH是G上的一
2、个等价关系，且aR=aH。（2）若|G|=n，|H|=m，则 m|n。,证明：(1)先证R是等价关系。对任意aG，有a-1G，按所设，是群的一个子群，和有相同的幺元e=a-1*aH。按R的定义，R,故R是自反的。若R，则a-1*bH。因H是群，(a-1*b)-1=b-1*aH，所以，R，故R是对称的。若R，R，则a-1*bH,b-1*cH。所以，(a-1*b)*(b-1*c)=a-1*(b*b-1)*c=a-1*cH,可知R，故R是传递的。,4,2、拉格朗日定理（2）,拉格朗日定理:设是群的一个子群，则（1）R=|a,bG,a-1*bH是G上的一个等价关系，且aR=aH。（2）若|G|=n，|
3、H|=m，则 m|n。,证明(续)：再证aR=aH。若aG，则 baR R a-1*bH a*(a-1*b)aH baH(2)因R是等价关系，可设R将G划分为K个等价类a1,a2,ak，,若h1,h2 H，且h1h2，aG，那么a*h1 a*h2。所以|aiH|=|H|=m(i=1,2,k)因此,5,2、拉格朗日定理（3）,例1 在X=R-0,1定义6个函数:f1(x)=x;f2(x)=x-1;f3(x)=1-x;f4(x)=(1-x)-1;f5(x)=(x-1)x-1;f6(x)=x(x-1)-1则是群，这里F=f1,f2,f3,f4,f5,f6,是函数的复合运算。试求的所有子群。,解：先写
4、出群表。因|F|=6，的子群只能是1、2、3、6阶群。,平凡子群：,从群表可以看出：2阶子群：f1,f2,f1,f3,f1,f63阶子群：f1,f4,f5,6,2、拉格朗日定理（4）,(续前页)令H=f1,f4,f5，是 的子群。求F=f1,f2,f3,f4,f5,f6中的各元素所确定的H在F中的所有左陪集。,f1H=f1,f4,f5 f2H=f2,f3,f6f3H=f2,f3,f6=f2Hf4H=f1,f4,f5=f1Hf5H=f1,f4,f5=f1Hf6H=f2,f3,f6=f2H,从此例看到，由群的子群所确定的所有不同左陪集(f1,f4,f5，f2,f3,f6)中只有一个是子群(参见P2
5、12习题6)；任意两个左陪集要么相等,要么它们无公共元素(参见P212习题7)。同一子群的每个左陪集中的元素的个数等于该子群的阶数。,7,3、拉格朗日定理的推论,推论1 质数阶群没有非平凡子群。,证：（反证法）假设质数阶群有非平凡子群，则|H|（1|H|G|）是|G|的因子，与|G|为质数矛盾。,推论2 设是n阶有限群，e为幺元。则G中任意元素a的阶必是n的因子，且an=e。如n为质数，则是循环群。,证：若aG,a的阶数为m，则是G的子群（可由子群判定定理一判定或按群的定义判定）。根据拉格朗日定理，m|n。令n=m.g,则an=am.g=(am)g=eg=e。如果n为质数，设任意aG，ae,a的阶数为m(1)。令G=，则G是G的循环子群。如上所证，m应是n的一个因子，已知n为质数，故m=n,从而G=G。,
