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1、【授课时数】总时数：4学时.,【学习目标】1、知道空间直角坐标系、向量、平面方程的概念；2、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）；3、会求平面方程、平面与平面、点到平面的距离，会判断平面与平面之间的位置关系（平行、垂直）,【重、难点】重点：向量概念，向量坐标表示及其运算，向量的数量积与向量积，平面的点法式方程 难点：两向量的向量积，平面与平面的位置关系，由实例讲解方法,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间直角坐标系,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,
2、二、空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,解,原结论成立.,解,设P点坐标为,所求点为,空间直角坐标系,空间两点间距离公式,（注意它与平面直角坐标系的区别）,（轴、面、卦限）,小结,填空题,练习题,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,三、向量,或,或,或,1.概念,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点M与原点,构成的向量.,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形
3、法则有时也称为三角形法则）,2.向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,3.向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,定理,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例3 化简,解,例4 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,4.低阶行列式,（按列（或行）展开）,1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,(对角线法则),注意：,性质
4、1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,性质3 如果行列式有两行（列）完全相同，则,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,此行列式为零.,性质4 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘,性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，,以同一数k，等于用数k乘此行列式.,则此行列式为零,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一,例如,数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,性质7上三角行列式等于对角线上元素的乘积,例如,解一,解二,5.向量的坐标,向量在 轴
5、上的投影,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,按基本单位向量的坐标分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标：,向量的坐标表达式：,特殊地：,方向角的定义 非零向量与三条坐标轴正向的夹角,向量 的与三条坐标轴的方向角为,6.向量的模与方向余弦的坐标表示式,方向角的范围：,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,解,思考题,思考题解答,对角线的长为,启示,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,7.两向量的内积(数量积或点积),结论 两向量的数量积等于其中一
6、个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,关于数量积的说明:,内积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（3）分配律：,（2）数因子的结合律：,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,8.两向量的外积(向量积或叉积),定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,外积的几何意义:,例如，,外积符合下列运算规律：,（1）反交换律：,（3）分配律：,（2）关于数因子的结合律：,解,解,三角形ABC的面积为,设,上式为混合积的坐标表达式,9.向量的混合积,解,（1）向量混合积
7、的几何意义：,关于混合积的说明：,解,上式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,小结,思考题,思考题解答,练习题,平行四边形的面积,零向量,零向量,垂直,平行,如果一非零向量垂直于一平面，那么这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,四、平面及其方程,1.平面的点法式方程,上式称为平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,
8、已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,上式称为平面的一般方程,法向量,2.平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,平面通过 坐标面；,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,称为平面的截距式程,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,化简得,令,所求平面方程为,（通常取锐角）,定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,3.两平面的夹角,按照两向量夹角
9、余弦公式,得,两平面夹角余弦公式,即,两平面夹角公式,4.两平面的位置关系,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,夹角,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面平行但不重合,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面重合.,解,上式称为点到平面距离公式.,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,【授课小结】通过本课题学习，学生应该达到：1、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）；2、会求平面方程，平面与平面之间的夹角，点到平面的距离,【课后练习】（一）P045习题1、2、3.,
