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1、第四章 数值积分（Numerical Integration）,内容提纲,数值积分的必要性 求积公式及其代数精度 插值型求积公式 Newton-Cotes公式及数值稳定性 复化求积公式及误差估计,数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)有解析表达式；f(x)的原函数F(x)为初等函数,实际问题,f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示例如函数:,考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸
2、为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数,并不复杂,但它的原函数却十分复杂:,3.f(x)没有解析表达式，只有数表形式:,这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义.,求积公式及其代数精度,求积公式的概念积分值 在几何上可解释为由x=a,x=b,y=0和 y=
3、f(x)所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的.,依据积分中值定理,对于连续函数f(x),在a,b内存在一点,使得,称f()为区间a,b的平均高度.问题在于点的具体位置一般是不知道的.这样,只要对平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法.,左矩形求积公式,右矩形求积公式,中矩形求积公式,此外,众所周知的梯形公式:I(f)(b-a)f(a)+f(b)/2可以看作用 a,b点的平均值 f(a)+f(b)/2,y=f(x),a,b,y,x,(a+b)/2,a,b,y=f(x),y,a,b,Simpson公式,(a+b)/2,a,b
4、,(a+b)/2,Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值 而获得的一种数值积分方法。,更一般地,取区间a,b内n+1个点 xi,(i=0,1,2,n)处的高度f(xi)(i=0,1,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(),这类求积方法称为机械求积:,或写成:,数值积分公式,求积系数,求积节点,(1),先用某个简单函数 近似逼近f(x),用 代替原被积函数f(x)，即,以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将 选
5、取为插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替,插值型求积公式,在积分区间a,b 上取n+1个节点xi，i=0,1,2,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有 为插值余项这里,取称(4)式为插值型求积公式,其中求积系数Ak由(5)式确定.,(4),(5),误 差,由于闭区间a,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。,定义（代数精度）设求积公式对于一切次数小于等于m的多项式(,是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数
6、精度（简称代数精度）,由定义可知，若求积公式的代数精度为n，则求积系数 应满足线性方程组：,或,),这是关于 的线性方程组，其系数矩阵,是范得蒙矩阵,当互异时非奇异,故 有唯一解。,例4.1 设积分区间a,b为0,2，取 时,分别用梯形和Simpson公式,计算其积分结果并与准确值进行比较解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示,f(x)1 x x2 x3 x4 ex 准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式 2 2 4 8 16 8.389 Simpson公式 2 2 2.67 4 6.67 6.421,从表中可以看出,当f(x)是 时,辛卜生公式比梯形公式
7、更精确,一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，Simpson公式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证,取f(x)=1时，,两端相等,取f(x)=x时,取f(x)=x2 时,两端不相等,所以梯形公式只有1次代数精度。,两端相等,例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式,解:要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组。,解之得，,所求公式为：,例4.3 试确定求积系数A,B,C 使 具有最高的代数精度解:分别取f(x)=1,x,x2 使求积公式准确成立,即 得如下方程组。,所得求积公式为：,对于f(x)
8、=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4 就不准确了，所以此求积公式 3 次代数精度。,由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如 插值求积公式,有三个节点，是否有3次代数精度呢？将f(x)=x3代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。,可以验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式 左端,例4.4 考察求积公式,两端不相等,所以该求积公式具有 1 次代数精度.三个节点不一定具有2次代数精度，,
9、右端,的代数精度,例4.5 给定求积公式如下：,试证此求积公式是插值型的求积公式,证:设,则以这三点为插值节点的 Lagrange插值基函数为,由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。,插值型求积公式为,例4.6 求证,不是插值型的,证明:设 x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2 则以这三点为插值节点的Lagrange插值 基函数为,例4.7 给定求积公式,试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度,解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有,解之得,其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两
10、端相等,而将f(x)=x4代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为3次,例 4.8 确定求积公式,使其具有尽可能高的代数精度,解：不妨设a=0,b=h,b-a=h,设所求公式的代数 精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即,其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,两端不等,说明求积公式只有2次代数精度。,解之得：,构造插值求积公式有如下特点：复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值 n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度 求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性,(1)在积分区间a,b上选取节点xk(2)求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样 就得到了,(3)利用f(x)=xn,验算代数精度,构造插值求积公式的步骤,例4.9 对 构造一个至少有3次代数精度 的求积公式,解:3次代数精度需4个节点,在0,3上取0,1,2,3四个 节点构造求积公式,确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式,因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度,求积公式的收敛性和稳定性,
