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1、一、高斯点,定义：高斯公式,机械求积公式,含有2n+2个待定参数,若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次（2n+1次?!）代数精度，则这类公式称为高斯公式。,(4.1),定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。,?,请回顾:,以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？,除中矩形公式外都不是！,注：机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。,举例,求 a,b上的两点高斯公式。,解,设两点高斯公式为,这是关于四个未知数的非线性方程组，是否有解？一般难于求解,要求其代数精度最高，四个未知数，可列出4个方程:,高斯点具有以下性质：,定理,插值型求积公式(4.1)成为Gauss求积公
2、式的充要条件：,求积节点 为n+1次正交多项式的零点。,如何求高斯公式?,正交多项式概述：,首先证明对于任给节点 x0，x1，xn，均存在某个次数为2n+2的多项式f(x),机械型求积公式不能精确成立，即其最高代数精度不能达到2n+2。如取：,证明,则有：,设求积节点 为n+1次正交多项式n+1(x)的零点。,现证充分性。即,求积公式是高斯型。,证明,现对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),用 除 f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，,即,2n+1,n+1,n,n,由已知条件，(x)与P(x)正交，故得,由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代数精度，故对Q(x
3、)能准确成立：,再注意到(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，从而有,综之得：,这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式准确成立，综之说明xk是高斯点。,再证必要性，即,若是高斯求积公式,设P(x)是任意次数不超过 n 的多项式，则,P(x)(x)的次数不超过2n+1，因此应准确成立,但,故.,求积节点构造的,注：,1、总可通过施密特正交化求出a,b上与所有次数不超过n的多项式都正交的多项式n+1(x)。,2、命题：n次正交多项式 有n个单零点。,解：设P0(x)=C，1(x)=x x0。由于,即,展开，得,则一个点的高斯公式为,中矩形公式,例.求-1，1上与次数为0的多项式正交的多项式1
4、(x)=？,二、高斯勒让得公式,若a,b=-1,1，其上的高斯公式为,称为高斯-勒让得公式。-1，1上的正交多项式称为勒让得多项式，勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。,几个Legandre 多项式：,若取P1(x)=x 的零点x0=0 作求积节点构造公式：,令它对 f(x)=1准确成立，即可定出A0=2.,从而得到一点高斯公式：,中矩形公式,令它对 f(x)=1,x 准确成立，即可定出A0,A1,可得两点高斯勒让得公式为,若取 的零点 作求积节点构造公式,注：更高阶的公式见书p122。,?,请思考:,高斯勒让得公式的求积区间是-1，1，那么对于任意求积区间a,b如何办？,解,作变换,
5、可以化到区间-1，1上，这时,三、带权的高斯公式（更一般的表现形式）,有时需要求如下带权的积分：,称上述(x)0是权函数。,定义：,若求积公式,具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.,高斯点,我们类似的可有：,定理,是高斯点的充要条件：,是区间a,b上带权(x)正交的多项式。,若a,b=-1，1，权函数为,所建立的高斯公式,切比雪夫高斯公式,称为切比雪夫高斯公式。xk是切比雪夫多项式的零点。,4.7.4 Gauss-Chebyshelv quadrature formula,Remark 1 three term recurrence formula v.s.Schmidt o
6、rthogonolization;Remark 2 Tn are perpendicular polynomials;,At last,well state the error estimation of the Gauss-Chebyshelv formula without the proof:,According to the error estimation of the Gauss-Type formula,we have:,Consult the table in p122.,构造高斯公式的一般方法：,1、构造正交多项式，继而求其零点，再按插值求积公式获得高斯公式；2、待定系数法,
7、此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等。例如：,-拉盖尔-高斯积分,举例,要构造下列形式的高斯公式,解,则其代数精度应为,即,求解?!,定理（稳定性）高斯求积公式的求积系数Ak0.,证明：事实上,这表明高斯求积法是稳定的。,关于积分余项和收敛性有：,积分余项：,收敛性：设f(x)Ca,b,则有：,4.1 Numerical Differentiation,However,(i)There is no error estimation;(ii)Are there any other numerical methods for ND?How to construct them&what about
8、 error?To answer these questions,we observe first:,Error Bound,Called forward difference¢ral difference formula.There are also backward difference formulas.,Five-point formula below can be obtained similarly:,It then be called compact form.,For higher order derivatives,it can also be obtained by
9、 interpolation like to the 1st order derivative using more points.Alternately,we can obtain the formulas which are algebraically tedious by Taylors expansion such as:,Cf.the results obtained by the two methods.,Balance between round-off&truncated error,4.2 Richardsons Extrapolation(1927),Richardsons
10、 Extrapolation is used to generate high-accuracy results while using low-accuracy formulas.,Then combined with the formula of N2(h)to eliminate the h2 term,we obtain:,Which posses higher order truncated error!,The geometry explanation(For h0,the approximation should be accuracy):,Related topic:steff
11、ensens acceleration for convergent linearly iterative sequence.,Numerical Differentiation Revisit-Using Extrapolation Method,The technique of Richardsons extrapolation is also used in approximating definite integrals and in determining approximate solution to differential equations in later Chapters.,Summery:We have studied 3 ways to obtain numerical derivatives algorithms:Lagrange Interpolating formula;Taylor mean value Theorem;Richardson extrapolation process.,Homework(p184):5;15*,作业：P136习题 11,谢谢观看！2020,
