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1、第三章,讲解内容 1.图像变换的目的、要求和应用 2.傅立叶级数、频谱分析概念及其意义 3.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、性质及其应用目的 1.熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；2.掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法,第三章 图像变换,图像变换的目的在于：使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：正交变换必须是可逆的；正变换和反变换的算法不能太复杂；正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取
2、、图像压缩编码和形状分析等方面。,在此讨论常用的傅立叶变换。,3.2傅立叶变换,在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在-T/2,T/2上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在-T/2,T/2可以展成傅立叶级数其复数形式为 其中 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。,3.2.1 连续函数的傅立叶变换 1.一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为 若已知F(u)，则傅立叶反变换为 式（3.2-1）和（3.2-2）称为傅立叶变换对。,这里f(x)是实函数，
3、它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：,傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。,2.二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为,二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为,|F(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)1/2(3.211)(u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v)(3.212)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)(3.213),3.2.2 离散函数的傅立叶变换1.一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔x单位的抽样方法将一个
4、连续函数f(x)离散化为一个序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如图3.2.3所示。,将序列表示成 f(x)=f(x0+xx)(3.216)即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。,被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 F(u)=式中u=0，1，2，N1。反变换为 f(x)=式中x=0，1，2，N-1。,例如：对一维信号f(x)=1 0 1 0进行傅立叶变换。由得 u=0时，u=1时,u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F(u)=Af(x),x,y,1,-1,j,-j,2.二维离散函数的傅立叶
5、变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)=(3.220)式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。f(x，y)=(3.221)式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。,原图,离散傅立叶变换后的频域图,例如 数字图像的傅立叶变换,二维离散傅立
6、叶变换的若干性质 离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。1周期性和共轭对称性 若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)（3.2-26)傅立叶变换存在共轭对称性 F(u，v)=F*(-u，-v)(3.227)这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。,2.分离性 一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换来实现。例如式(3.2-14)可分成下面两式:,x,y,x,v,x,v,1-D离散傅立叶变换,4.旋转性质 平面直角坐标改写成极坐标形式：,做代换有：,如果 被旋转,则 被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：,7.卷积定理,
