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1、中学数学教材分析（三）,一 数学教学的重点,二 数学教学的难点,四 作业,三 数学教学的关键点,（一）数学教学重点的含义数学教学重点指数学教材中贯穿全局，带动全面，起核心作用的内容。“突出重点”是数学教学的基本要求。课堂教学应把主要时间和精力放在重点内容的教学上，而不是放在多题组、大题量的强化训练上。题型教学和题海战术不能取代新授课重点和难点的教学。更有甚者，“眉毛胡子一把抓”，根本看不出其重点所在，这些做法，无论是对知识的领会，思维的训练，还是能力的培养，都是非常不利的。,一、数学教学重点,（二）如何确立教学重点1.应用的广泛性即教学内容在理论和实践中具有广泛的应用.举例:(1)“三垂线定理
2、”是公认的重点内容,原因在于它在证明线线垂直、线面垂直，作线面所成的角、二面角的平面角，求点线、点面之间的距离等方面都起着十分重要的作用。同时，三垂线定理的证明过程还包含着重要的转化思想。,(2)“换元法”因其特殊的转化功能和广泛的应用而成为重要的数学方法之一；“数形结合”的思想方法由于其工具作用和直观化、形象化的转化功能而成为重要的数学思想。(3)“集合”这一节包括以下内容：集合与元素的概念；常用数集及其符号；元素与集合的从属关系；元素的三个基本特征；集合的分类与表示方法。本节的教学重点之一是集合的表示方法.因为学习本节的重要原因就是要利用集合语言表示不等式解集，函数的定义域和值域等。,（4
3、）“函数的单调性”这一节包括以下内容：增函数、减函数、单调性的概念；单调性的判定。本讲的教学重点是单调性的概念。因为单调性是函数的重要性质，是对数函数、指数函数、三角函数研究的重要内容。同时单调性在比较数的大小、证明不等式、作图、求函数值域、判定方程根的情况等方面都有广泛的作用。,2.地位的独特性在教材中贯穿全局，起纽带作用。如三角函数的定义（）是整个三角函数一章的根基，同角三角函数的关系，余弦和角公式的推导等都以它为基础，甚至圆的参数方程，极坐标与指教坐标系的互化都以它为依据。3.蕴涵重要的数学思想方法本节内容包含重要的数学思想方法，后续内容应用广泛。例如三角函数诱导公式的推导，蕴含有数形结
4、合、化归，转化等数学思想方法。4.培养学生能力方面能起到独特作用如空间图形画法是学生树立空间想象能力的重要技能,（三）突出重点的基本方法现代教学理论认为,为了使学生掌握数学学科的基本结构和发展数学能力,培养良好的个性品质,数学课堂必须遵循展现思维过程的原则,其中包括概念的发生、发展过程，命题的形成过程，解题思路的探索过程和解题方法的概括过程。因此数学教学要突出的重点就必须通过思维过程的充分暴露加以实现。即实施过程教学，追求过程与结果统一。,1.让学生充分的参与设计合理的产生形成过程，让学生参与归纳与概括，参与发现与探索，做知识的研究者和发现者，通过再创造，让学生获得知识和能力。正如荷兰数学教育
5、家弗赖登塔尔所说:“科学的顶峰总是创造性的发现.学习的过程也必须含有直接创造的侧面,即从学生的观点看是创造,通过再创造获得的知识与能力,要比以被动方式获得的,理解得更好,也更容易保持.”,案例：“虚数i开方运算”教学课例,师：我们对-1进行开平方运算时，引入了新数i，从而将实数集扩充到复数集。现在要对虚数i开平方，是否又会出现别的新数呢？如何对i开方呢？我们先解决问题，如何对i开方？回到定义去，求i的平方根的意义是什么？生：在复数范围内求平方为i的数师：请把这个问题用一个数学式表达出来（数学化）生：设z=x+iy为i的平方根，其中x+iyC，那么有,师：这就回到我们熟悉的问题了，这是用代数形式
6、的表述，如果用复数的三角形式又该如何表达这个问题呢？注意：让学生充分参与，就不应是老师包办，教师要通过精心设计的问题链来实现。,2.有步骤的引入 在体现必要性的前提下，逐步引入新知识，揭示引入的合理性，使之与学生的认知水平同步进行。即“知其然，知其所以然”。注入式教学正是忽视了这一环节，缩减了由感性到理性的过程如：“反正弦函数的引入”若上课一开始就讲反函数的定义，并引入“arcsin”，学生会毫无心理准备，感觉太突然，理解也不会透彻。参考设计：1、函数 有反函数吗？能否缩小其定义域使其具有反函数？2、函数 在其定义域内有反函数吗？在怎样的区间上可使其有反函数？3、正弦函数 在 的反函数叫反正弦
7、函数,若记反正弦函数为，则 问：它们存在吗？等于多少，在此基础上自然引出记号“”3.全方位的审视要使学生深刻理解，掌握重点知识，就必须引导学生从各个侧面对其进行深入认识。,案例：“反函数”审视1：反函数是函数，应满足函数的定义与特征要素审视2：反函数中的“反”如何体现：表达式；定义域；值域审视3：如何求一个函数的反函数？审视4：两个都是函数，函数有图象，图象有什么关系？审视5：两个都是函数，函数有性质，性质有什么关系？,案例2：函数的单调性审视1：增函数与减函数的定义差别？审视2：增函数与减函数的定义中关键字：任意、区间审视3：增函数与减函数的图象特点？审视4：如何判断一个函数是增函数还是减函
8、数？审视5：如何证明一个函数是增函数还是减函数？,（4）多层次的练习 对既是重点又是难点的概念、定理等教学内容，不仅要重视其形成、发现过程的教学，也要通过循环反复的螺旋递进的方式进行练习，使学生充分地领会，并学会应用。案例：“反函数”当看似孤立的问题运用“知识的重点”加以串联以后，就形成了具有密切联系的问题链，随着逐层深入的思考，对重点知识的认识就越加透彻，对知识的运用就更加灵活。,（5）变式运用 重要公式的教学，可以通过公式的正用、逆用、变用、连用等方式，在加强记忆同时增强思维的灵活性。案例：“两角和与差的正切公式”重要例题的讲授，可以通过对例题条件增减、或条件与结论的交换、或特殊到一般的推
9、广、或几个例题的共性分析，促进思维的深刻性。,（6）多角度的联系通过知识内在联系的揭示，在拓展思维空间的同时进一步强化对新知识的认识。如：数列通项的理解函数理解对概率古典概型的理解集合理解指数与对数关系的理解加与减、乘与除直线与圆的关系理解几何（距离）、代数（方程组的解）数学知识的内在联系广泛存在于数学知识结构之中，重视其挖掘，在促进数学理解的同时，有利于培养思维的广阔性。,（7）适度的引申引申作为一种教学手段，能有效促进对重点知识的理解。例如正弦、余弦函数的奇偶性是该界教学的重点，如果蜻蜓点水般的得到结果，难以对三角函数图象形成充分的认识，应更深入揭示其一般规律：函数奇偶性的实质是反映函数图
10、象的对称性。正弦、余弦函数的奇偶性分别说明它们是中心对称图形和轴对称图形。,可设置以下问题：正弦还有别的对称中心吗？余弦函数还有别的对称轴吗？正弦函数的图形是轴对称图形吗？余弦函数的图形中心对称图形吗？需要指出的是：重点内容的挖掘不是越深越好，要弄清教学要求的层次，有时挖掘得过深学生难以理解，反而削弱或淡化了重点。,（8）分阶段巩固对于重点的教学内容，不能“毕其功于一役”，应该分阶段完成。如立体几何公理2（如果两个面有一个公共点）就可以分成4个阶段完成：首先用它指导作面面的交线和证明点共线在讲空间直线位置关系时指导画线面的交点问题在讲面面位置关系时介绍证明线共点问题在讲多面体时用它指导作多面体
11、的截面分阶段巩固还表现为对重点内容的一种定期检测、训练。,二、关于教学难点,(一)对教学难点的认识1.教学难点的含义难点是指学生接受起来比较困难的知识和方法,它是造成学生学习成绩差距的分化点.难点具有相对性，相对于不同层次的学生而言。2.突破难点的双重意义消极意义：学生对教师讲授的内容体会不深，理解不透，思维受阻，随着时间的推移，会使学生逐渐失去信心，造成学习困难。,积极意义：教学难点常出现在数学思想迅速丰富、大步跳跃或较为深刻的地方，出现在数学方法较为抽象更为综合的地方。教学难点的积极意义是发展学生思维能力和提高学生数学素质的契机。现代教学理论认为，数学教学的根本任务是发展学生的思维能力。新
12、课标强调：要培养学生克服困难的信心和意志力；要向学生提供挑战性的问题，使他们经历克服困难的活动，要让他们从这些活动中获取成功体验。因此，正确有效的利用与化解难点，是数学教学的必然结果。,（二）正确的估计难点 教学难点因人而异，教师必须在研究教学对象的基础上正确估计难点。一般可以从以下几个方面去认识与估计难点：1.教学内容的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾产生难点案例1：初二代数“无理数”一节 无理数的概念是本节教学难点。主要原因是：无理数的概念十分抽象，需要有一定的抽象思维能力和初步的极限思想。而初中学生的抽象思维能力弱，主,要还是以经验型的形象思维为主。案例2：高中“函数”一节。本节的教学难
13、点是函数的概念。主要原因是：由于函数的概念涉及集合语言，其实质是集合之间元素的对应。教材采用了映射语言进行叙述，但在本节之前却没有先讲映射作为铺垫。因此需要学生具备一定的抽象思维与辨证思维能力。同时学生还要注意初高中函数概念的整合，这些特点对抽象思维能力较弱的高一学生而言确实较难理解。,案例3：高中“双曲线的几何性质”一节。本节教学难点是双曲线的渐进线。主要原因：双曲线的渐进线看似形，却难以用形来描述，同时渐进线概念包含着极限思想。案例4：高中“极限的定义”一节。本节教学难点是极限的定义。主要原因：极限概念中N的辨证关系难以让人理解，其次有限与无限的关系让人难以捉摸。,2.教学内容的深化和学生
14、思维定势之间的矛盾案例1：初中“一元一次方程的应用”一节。受小学定势思维算术法解方程的影响，因而常想到列算式而忽视建立等量关系，从而成为教学难点。案例2：初中“不等式的性质”一节。受方程解法的影响，忽视不等号的变向而成为教学难点。案例3：高中“逻辑连接词”一节。难点为：对“或”的含义的理解。主要是容易与日常用语中“或”的含义混淆。,3.教学内容之间的关系复杂案例1：“交集并集”一节。本节教学难点是交集并集的概念及它们之间的区别与联系。因为逻辑中的“且”与“或”只是一字之差，关系却很复杂。而且这种理解与日常理解有别。案例2：“一元二次不等式的解法”一节。本节教学难点是三个二次之间的关系。三个二次
15、紧密联系，相辅相成，而且运用中又需要灵活处理,4.问题的解决途径难以探索案例1:“函数的单调性”.本节的教学难点是利用单调性的概念证明或判断函数的单调性.因为证明中需要通分、提取公因式等变形技巧，还需要分类讨论等思想方法，灵活性强。案例2:“四种命题”.本节的教学难点是反证法的理解与应用。因为反证法的理解虽说与逆否命题有密切联系，但也仅仅是浅层理解，而且推导矛盾的方式、方法多种多样，灵活性强。,案例3:“两角和与差的余弦”.本节教学难点有2：其一是余弦和角公式的推导证明思路难以探索；其二是和与差余弦公式的灵活应用应用的方法、技巧很多。案例4:“正弦定理”.本节教学难点有2：其一是正弦定理的推导
16、证明思路难以探索；其二是正弦定理公式的灵活应用。,（三）突破难点的策略,1.发现性策略 即将克服难点的过程组织成教师引导下的学生独立发现的过程,这样能较好发挥难点促进学生思维发展的作用。使用这一策略的条件是学生具备较好的基础知识、能力准备和较充裕的时间。案例1:“圆的切线的作法”.教学难点：切点的确定解决该问题可以设置以下启发问题：问题1：过P点的直线无数条，任作一条可以吗？,问题2：设PA为切线，A为切点，则OA与AP有何关系？问题3：本题转化为在圆上找一点A，使OA PA，怎样确定A点？问题4：在OAP中，OP是已知的，要使OAP为直角，怎么办？评注：上述问题设置：学生不但掌握了切线的作法
17、，而且培养了分析、归纳、综合等逻辑思维能力。从技术层面而言，可归结为递推假设发现突破难点。,案例2：“等差数列前n项和”教学难点：求和公式的推导；解决方法：高斯故事，钢管堆放从技术层面可归结为特殊到一般的归纳突破案例3：“圆周角定理”教学难点：定理的发现；解决方法：教师设置问题：一个圆周角所对应的弧有几条？一段弧所对应的圆周角有几个？圆心角有几个？,（启发学生认识二者有某种关系）学生操作：自己画图，自己测量教师利用几何画板拖动A点，让学生观察圆心角和圆周角的变化情况（得到结论：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半）,教师启发：由于有限次的实验得到的结论不一定可靠，更不能作为定理。我们不能逐一验
18、证，有无办法证明？请大家观察演示，注意圆周角与圆心角有几种位置关系。从技术层面可归结为实验操作演示的观察突破,案例4：“一元二次不等式的解法”教学难点：三个二次之间的关系解决方法：与三个一次关系类比，借助于图形从技术层面可归结为类比突破、图形直观突破、特殊到一般归纳突破。2.层层铺垫策略层层铺垫策略并不是等难点充分暴露时才设法破解，而是采取有目的、有计划地进行分化、铺垫、分解等措施缓解问题的难度，使学生有序地度过思维障碍。,采用这种方式，有时需要有意设计递进式教学环节；有时需要因势利导，旁敲侧击。案例1：再将上述推广到一般从技术层面可归结特殊到一般归纳突破。从本质上将单调性的定义、等差数列、等
19、比数列的定义也是一种铺垫,案例2：铺垫1：问题：已知A（1，1）和B（2，3），试在X轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小.几何意义 从技术层面可归结为图形直观突破3.提示性策略即在解决问题的过程，教师适当提示解决问题的思考原则，逐步缩小学生的探索范围，求得问题,的解决。这种策略多用于例题与习题的教学之中。提示的范围包括相关数学知识、常见数学思想（数形结合、转化思想、构造思想、整体思想）、常用的数学方法（如配方法、换元法、待定系数法、间接法）等。提示的类型一般有三种：一般性提示即方法论水平上的提示，提升学生一般性的思考方法与原则。功能性提示间于一般性与特殊性之间，他提醒学生应用针对某一类问题
20、的解决方法与策略,特殊性提示即具体的提示，针对解决的问题，提醒学生解决问题的具体方法与步骤案例：证明“三角形内角平分线性质定理提示问题1：要证明线段成比例有哪些方法？提示问题2：要使用平行线分线段 线段成比例？该怎样作？提示问题3：如何使AB、BD、AC、DC在两条直线上？提示问题4：现在BD、DC在同一 直线上，如何将AB、AC转化到同一 直线上？,4.分散性策略实际情况不允许采用发现性策略或提示性策略，如学生的知识水平达不到或时间有限，教师可以对难点问题直接讲授或通过学生阅读课本，绕过知识被探索发现的过程。由于这种做法越过了重要的思维环节，应该在上述环节之后，加强反思环节。反思性策略一般有
21、两种：一是具体性反思，即对某一数学方法或解题过程回头看，对具体解决问题的过程加深理解和认识。,如等比数列前n项的和的公式推导，教师可以回头再讨论错位相减法。二是整体性反思，即在某一章节之后，对解决问题的思想方法进行归纳总结。例如学生在学习了一次方程组之后对消元的思想方法这个教学难点进行进行整体回顾。5.躲避性策略 即学生即使在教师的指导下也不具备解决难点所需要的知识和能力时，或着对于非重点的难点内容，学生在掌握过程中受阻而影响重点内容的学习,时，可以采用这种策略。如教学双曲线的几何性质时，直线的不同位置与其相交交点的个数就可以采用这一策略，侧重与基本性质掌握；在教学几何入门公理时也可以依据实际
22、情况，只稍带一提，不作过多讲解，不投入过多精力。躲避性策略是一种消极策略，但运用较好，仍可以取得积极效果，即放弃非重点内容，力图取得全局胜利。,三、数学教学的关键点,教材分析还需找准教材中对教学质量和教学效果起着重要作用的关键点1.从教学体系中找准教学的衔接点 教材中的知识总是前后联系又相互独立的.在分析教材时不能把着眼点只放在教材的局部、具体问题的分析上，而忽视对教材整体的把握，应该从整体和局部两个方面入手，找准教材的衔接点，从而明确教材编写的来龙去脉以及各知识点在教材中的地位和作用。,案例1：如初一“负数”应放在整个初中去分析，既是小学“非负数”的衔接，也把数系扩充到整个有理数，进而引出数
23、轴、相反数、绝对值等概念，不难看出负数是初中数学知识的衔接点2.从教材的目的要求找准教学的知识发生点 教材的知识按一定的体系编排，相互联系中展示各个知识点的发生发展过程。教师在教材分析时要依据教材的教学目的要求，找准知识的发生点。依据知识的发生过程提出恰当的问题，引导,学生参与揭示知识的发生发展过程。案例：“绝对值不等式的解法”的衔接点是绝对值的几何意义和一次不等式；“直线的方程与方程的直线”的衔接点是函数的图象；“平方差公式”的衔接点是多项式的乘法，3.从教学的具体内容上找准教学的立足点教材分析时要针对具体章节的教学，依据知识本身的特点和其在整个知识体系中所处的位置确定相应的立足点，使教学有
24、的放矢，目标明确。,案例：“一元二次方程的解法”这一节的教学立足点是“配方法”，这不仅仅为求根公式的推导、证明打下基础，而且它本身也是一种重要的数学思想方法。4.从教材的重难点中找准教学的分化点教材中某些重点内容学生不易掌握，影响后续内容的学习，日积月累容易形成数学成绩的分化。这样的内容称为分化点。教师在教材分析时，应在掌握重点难点的基础上，找准教学的分化点，突破这些分化点，才能避免学习成绩分化，大面积提高教学质量。,如：初中绝对值的概念；列方程解应用题；平面几何图形、几何语言、几何推理；高中立体几何中空间图形等。5.从教材内容要求上找准训练点 在教材分析时要研究各种类型题目的特点和其在教学中的作用，选择适宜的题目类型，突出基本概念、基本方法、基本规律。充分利用典型题目进行变式训练，把握好训练度。,ByeBye！,本讲作业,1.选择一个教学内容，写一则教材分析2.选择一个教学内容,分析其重点、难点，设计突出重点与突破难点的方法与策略。,
