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1、数学建模及典型案例分析,李志林，欧宜贵编著,化学工业出版社,广西民族大学数学与计算机科学学院,曹敦虔制作,目录,数学建模导言插值与拟合微分方程建模方法差分法建模计算机模拟层次分析法数据的统计描述与分析回归分析方法优化模型确定型时间序列预测法随机型时间序列预测法,数学建模及典型案例分析,1 数学建模导言,数学模型及其分类数学建模例子数学建模的基本方法和步骤,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,各种模型,模型,这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原型替代物。,数学模型,什么是数学模型数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象
2、的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。例如在牛顿力学中的公式f=ma,s=vt.爱因斯坦的质能方程E=mc2.这些都是数学模型.数学建模就是建立数学模型的过程。,？,数学模型的分类,按应用领域分类:人口模型，环境模型、交通模型、生态模型按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方法模型、统计回归模型、数学规划模型按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型按变量的连续性分类：连续模型和离散模型按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型,示例1
3、鸭子过河,有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。,示例1 鸭子过河,模型假设假设河的两岸为平行直线，河宽为h;鸭子游水的速率为b,水流速率为a,均为常数;初始时鸭子的位置为A;鸭子游动的方向始终指向O.,示例1 鸭子过河,模型建立取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。关键是如何求出P点坐标(x,y)关于时刻t的表达式.,示例1 鸭子过河,t时刻鸭子本身的速度为河水速度为 所以合速度为,示例1 鸭子过河,即又由初始条件有(1.1)(1.2)就是所求问题的一个微分方程模型。,(1.2),(1.1),示例1 鸭子过河,模型求解数值解设时间步
4、长为t,则,(1.3),示例1 鸭子过河,当yi0时,说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算.由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.,例如取a=1,b=2,h=10,t=0.3,则求得结果为,计算(1.3)的Matlab代码,示例1 鸭子过河,所求得的鸭子经过的路线如右图所示。思考：此方法所求得的结果为近似值，为什么？,示例1 鸭子过河,2.精确解由(1.1)(1.2)可以得到,(1.4),示例1 鸭子过河,(1.4)可以看成是另一种形式的微分方程模型.它是一个的常微分方程初值问题.求解它可以得到精确解,(1.5),求解方程(1.4)的Maple代码:assume(h0);sol:=ds
5、olve(D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)2+y2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0,x(y):simplify(allvalues(sol);,示例1 鸭子过河,进一步讨论如果ba,结果会怎么样?如果不要求鸭子一定要达到正对岸O,问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达对岸?,建模过程总结,简化假设设定符号变量建立模型求解模型解的讨论及推广应用,数学建模的基本方法和步骤,基本方法机理分析测试分析,数学建模的基本方法和步骤,一般步骤问题分析模型假设模型建立模型求解模型检验和应用,数学建模的基本方法和步骤,假设、抽象、表达,求解,解释、翻译,验证、应用,简短精练、高度概括、准确
6、得体、恰如其分,数学建模论文写作,标题作者信息摘要关键词正文参考文献附录,姓名通信地址,使用什么方法解决什么问题得到什么结论,问题重述问题分析模型建立模型求解模型应用模型评价,列出你所参考的文献资料,较长的程序，不是很重要的推导过程、图表等,小结,本节主要介绍数学模型的基本概念、基本方法，并通过一个示例介绍数学建模的过程，最后简单介绍了数学建模论文写作的要点。,2 插值与拟合,插值与拟合是两种最常用的数据拟合和函数逼近的方法,插值与拟合,插值 拟合,插值,已知由g(x)(可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据(xi,g(xi)，且 x0 x1xn，在x0,xn内寻找一个相对简单的函数f(x)，
7、使其满足f(xi)=g(xi)，i=0,1,.,n,这个过程称为插值，f(x)称为插值函数，g(x)称为被插函数.,多项式插值,线性插值寻求直线方程f(x)=ax+b,满足解得,多项式插值,二次插值寻求二次函数方程f(x)=ax2+bx+c,满足,多项式插值,三次插值寻求三次函数方程f(x)=ax3+bx2+cx+d,满足,多项式插值,当插值数据点个数为n+1时，需要用一个n次多项式进行插值。当n较大时，会出现龙格(Runge)现象。,分段多项式插值,分段线性插值 所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值节点作线性插值.,分段多项式插值,分段线性插值函数表达式其中,分段多项式插值,称lj(x)为
8、插值基函数.其的图像为,分段多项式插值,三次样条插值 所谓三次样条插值方法就是已知(xi,yi),i=0,1,.,n,寻求一个函数s(x)满足下列条件：s(x)C2,s(x)在每个子区间xi-1,xi,i=1,2,.,n上是三次多项式,s(xi)=yi.,分段多项式插值,三次样条插值,分段多项式插值,记si(x)为s(x)在xi-1,xi上的表达式,且si(x)=aix3+bix2+cix+di,这样要求s(x),就是要求si(x),也就是求ai,bi,ci,di,一共有4n个未知数.,分段多项式插值,由条件c)得si(xi)=yi,i=0,1,.,n.由条件a)得si(xi)=si+1(xi
9、),si(xi)=si+1(xi),si(xi)=si+1(xi),i=1,2,.,n-1.这样就有了n+1+3(n-1)=4n-2个方程,还需要2个才能唯一确定s(x).,分段多项式插值,实际应用中常用三种类型的边界条件作为附加条件给定两端点的一阶导数s(x0)=y0,s(xn)=yn;给定两端点的二阶导数s(x0)=y0,s(xn)=yn;周期边界条件s(x0)=s(xn),s(x0)=s(xn).具体使用哪一种要根据实际问题来定.这样就一共有4n个线性方程，构成一个4n元线性方程组。求解就可以得到s(x)各段的系数。,最小二乘拟合,已知一批离散数据(xi,yi),i=0,1,.,n，且
10、x0 x1xn,寻找一个函数f(x),使达到最小.这个过程称为最小二乘拟合,f(x)称为拟合函数.,线性拟合,若设拟合函数f(x)=ax+b，则有令,线性拟合,即,这是一个关于a,b的2元线性方程组.求解即可得到f(x)的表达式.,一般曲线拟合,线性拟合实际上可以看成是以1,x为基函数进行拟合.一般地,若以为基函数来进行拟合,则f(x)可以表示为,一般曲线拟合,目标是使最小.令可得到关于c0,c1,.,cm的线性方程组,求解即可得到f(x).,一般曲线拟合,为方便计算,下面直接给出一种求c0,c1,.,cm的方法.将(xi,yi)代入y=f(x)可得到n+1个方程,一般曲线拟合,写成矩阵形式为
11、AC=Y.其中当nm且A的各行线性无关时,这是一个超定方程,无解.,一般曲线拟合,只能求其最小二乘解,即求方程ATAC=ATY的解,这样即可得到c0,c1,.,cm.,一般曲线拟合,如何选择基函数?一般是根据数据的特征或者经验以及对其它信息的分析来确定合适的基函数.,示例1 温度预测问题,在12h内,每隔1h测量一次温度.温度依次为5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24.试分别用分段线性插值,三次样条插值以及多项式拟合方法估计在3.2h,6.5h,7.1h,11.7h的温度值.,示例2 参数估计,设d=k1v+k2v2,且有一组d与v的测量数据如下试使用最小二乘法求k
12、1,k2.,示例3 国土面积的计算,已知某国家的地图的边界测量数据如下,求该国家的面积.,示例3 国土面积的计算,若将所有数据点按顺序用直线连接起来得到的图形如下,小结,本章主要介绍两种重要的数据拟合与函数逼近的方法插值与拟合。插值是求一个函数使其经过给定的数据点，而拟合则是从给定的函数空间中寻求一个函数使其与给定数据的距离最小。具体使用哪种方法，应根据实际问题而定。,3 微分方程建模方法,当事物的某些特性随时间或空间而演变时，我们通常建立微分方程模型来描述它的变化过程，以分析它的变化规律、预测它的未来性态。,微分方程建模思想和方法,守恒原理,例1 死亡时间的确定,在凌晨1时警察发现一具尸体，
13、测得尸体温度是29oC,当时环境的温度是21oC.1小时后尸体温度下降到27oC,试估计死者的死亡时间.,模型假设,设环境的温度为常数TE,人体正常温度为TP.t时刻尸体的温度为T(t).t1时刻测量时尸体温度为T1,t2测量温度为T2.,根据热传导定律：热量总是由高温的物体传向低温物体.单位时间的热传导量与温差成正比.有,模型建立,令 得到,微分方程模型,模型求解,这是一个比较简单的微分方程方程模型,可以求得其通解为其中C,k 为参数,可通常测量数据确定其值.,由假设1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即解得,又由t2=t1+1,有其中,TE=21,TP=37,T1=29,T2=27,
14、进一步讨论,如果只测量一次尸体的温度,你能估计出死亡的时间吗?,例2 湖水污染浓度,有一个小湖,水容量为2000m3,分别有一入水口和出水口,水流量都为0.1m3/s.在上午11:05时,因交通事故一个盛有毒性化学物质Z的容器倾翻,在入口处注入湖中.于11:35时事故得到控制,但已有数量不详的化学物质泻入湖中,初步估计为520m3.建立一个模型,估计湖水污染程度随时间的变化规律,并估计湖水何时到达污染高峰;何时污染程序可降至安全水平(0.05%),入水口,出水口,假设,湖水中Z的浓度是均匀的,t时刻为c(t).湖水总容量为常量V.物质Z以均速泻入湖中,总量为z,所用时长为T.入口与出口的水流速
15、度均为r.安全水平为Z的浓度小于k.,则有令t0得,求解得到利用初始条件c(0)=0和c(t)的连续性有,这样就可以得到物质Z在时刻t的浓度为 c(t)在0,T内是增函数,在T,)内是减函数,且c(t)是连续的,所以c(t)的最大值为为求何时能达到安全水平,当tT时令c(t)k,解得,例3 最优捕鱼策略,为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源(如渔业，林业资源)的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对鳀鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17
16、.86，22.99(克)，各年龄组的自然死亡率为0.8(/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率(1龄鱼条数与产卵量n之比)为1.221011/(1.221011+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力(如渔船数，下网次数等)固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为
17、0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。请建立数学模型分析如何实现可持续捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。,假设,鱼群总量的增加虽然是离散的,但对大规模鱼群而言,我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的,设t时刻i龄鱼的数目为xi(t),时间以年为单位.假设鳀鱼每年只在8月份产生卵,12月底孵化完成.每只 4龄鱼每年的产卵量为N,每只 3龄鱼每年的产卵量为N/2.卵的成活率(1龄鱼条数与产卵量n之比)为r.i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼,i=1,2,3.i龄鱼的重量为gi.对i龄鱼捕捞强度系数为ki.鱼群的自然死亡
18、率为常数d.4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可不予考虑。连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化,周期为1年,可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况.,模型建立,考虑在t,t+t时间内(未跨年)i龄鱼的数量变化.鱼群数量的变化是由于自然死亡和被捕捞而导致的，所以有令t 0,得到,模型求解,求解得到其中i=1,2,3,4.如何求xi(0)?,因为每年末i龄鱼到下一年初时会变为i+1龄鱼，所以即,又由每年产卵总量,又因为每年初1龄鱼的数量为其中q=1.221011.求解可得,于是有,捕捞量为再利用k3=0.42k4,捕捞量就是关于k4的一元函数.通过求其极大值可得到最大捕捞量.当N=
19、1.109105,g3=17.86,g4=22.99,d=0.8,q=1.221011时,求得结果为k4=17.36292602,f=3.8870755181011.,小结,本章主要介绍微分方程建模方法,主要利用率物质或能量的守恒原理进行建模.模型的求解方法有解析解法和数值解法.,4 差分法建模,实现中的问题通常是连续变化,但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述.为了表述这一类数学模型,本章引入了差分方程建模方法.,差分方程,定义:对一实数数列xn,称形如的方程为线性差分方程,其中an,an-1,.,an-k是实数,an0,an-k0,整数k称为差分方程的阶.例如xn-xn-1-xn
20、-2=0,n2就是一个2阶差分方程.,若给定初值,可通过迭代的方法求出有限项的值.例如,若则有x2=2,x3=3,x4=5,.,线性差分方程的解,有没有办法求出差分方程的解?对于二阶线性差分方程的解,有下面的结论:设二阶线性差分方程axn+bxn-1+cxn-2=0,n2其中a,b,c为实数,且a,c非零.它的特征方程为a2+b+c=0,特征根为1,2.则有,若1 2且都为实数,则若1=2,则若1,2为一对共轭的虚根,即1=+i,2=-i,则其中,线性差分方程的平衡点及稳定性,一阶线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性差分方程xk+1+axk=b,的平衡点由x+ax=b解得,为x*=b/(1+a
21、).若,则称平衡点x*是稳定的,否则称x*是不稳定的.,显然,若数列xn收敛,则必有.又因为xn=anx0+anb.当|a|1时,xn收敛,此时平衡点x*=b/(1+a)是稳定的.,二阶线性差分方程的平衡点及稳定性二阶线性差分方程xk+2+a1xk+1+a2xk=b,的平衡点为方程x+a1x+a2=b的解x*.若,则称平衡点x*是稳定的,否则称x*是不稳定的.,其对应的齐次方程的特征方程为2+a1+a2=0,记它的要根为1,2,则当且仅当|1|1且|2|1时平衡点x*是稳定的.,一阶非线性差分方程,若 f(x)为非线性函数,形如xk+1=f(xk),的方程称为一阶非线性差分方程.方程x=f(x
22、)的解称x*为平衡点.若,则称平衡点x*是稳定的,否则称x*是不稳定的.,当 时,x*是稳定的.当 时,x*是不稳定的.,例1 贷款还款问题,现有一笔p万元的贷款，贷款期是n年，年利率为r.若采用等额本息（即每月还款数相同）的方式逐月偿还，问每月还款的数额是多少？,假设,设第k个月欠款数为xk,月还款m元，月利率为r1.,模型建立,根据还款及欠款的数量变化关系有即初始条件为,模型求解,直接求解得到令xk=0,求得这就是每月还款数的计算公式.例如,当p=10000,r1=0.00521255,k=24时,m=444.3563,总还款额10664.5508.,进一步讨论,若采用等额本金的方式逐月偿
23、还(即每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减),问各月份所需要偿还的金额是多少?,例2 养老保险,养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司为客户提供各种不同的方案以供选择.请你分析保险品种的实际投资价值.若某人从25岁起投保,每月交费200元,到60岁停止交费并开始领取养老金,每月2282元.求该投保人的收益率.,假设,设60岁前每月所交保费为p,60岁后每月领取养老金为q.交保费的总月数为n,领取养老金的总月数为m.每月的收益率为r.到第k月止所交保费及收益的累计总额为xk.,模型建立,根据xk的变化规律,有,模型求解,易求得通解为利用x0=0可得,当k=m+n-1时,xk=0,因此解此方
24、程可得收益率r.取p=200,q=2282,n=3512,m=1512,解得r=0.00485.取p=200,q=1056,n=2512,m=1512,解得r=0.00461.,例3 减肥计划,某人体重100kg,目前每周吸收20000kcal的热量,体重维持不变.现欲减肥到75kg.在不运动的情况下安排一个两阶段计划.第一阶段:每周减肥1kg,每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限10000kcal.第二阶段:每周吸收热量保持10000kcal,减肥达到目标.若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划.给出达到目标后维持体重的方案.,每小时每千克体重消耗的热量(kcal),假设,第k周体重为wk
25、,吸收的热量为ck.除了正常代谢及运动消耗的热量之外,人体过多的热量将转换为脂肪,每1kcal的热量转换的脂肪为常数千克.人体因代谢消耗的热量导致体重下降与体重成正比,比例系数为.,模型建立,在第一阶段,由于体重的变化仅与吸收的热量与消耗的热量有关,根据体重的变化关系,有,模型求解,首先求代谢消耗系数.当体重为100kg,每周吸收20000kcal热量时,体重不变,所以因此有,下面求第一阶段每周吸收的热量.由于每周减1kg,所以,当吸收的热量达到下限cm时,所用的周数为当w0=100,cm=10000,=1/8000时,k=10.即第一阶段用10周,第k周吸收的热量为ck=12000-200k
26、,k=0,1,2,.,9.,第二阶段,每周吸收的热量保持下限cm,使体重减至75kg,第k周体重变化关系为解得令wk=wm,解得,当w0=90,cm=10000,=1/8000,wm=75时,k=18.5641517519,按照这样的方案,第二阶段需要用19周可以达到目标.,6 层次分析法,什么是层次分析法？怎样使用层次分析法？层次分析法的理论基础是什么？,什么是层次分析法？,层次分析法是一种将定性分析与定量分析相结合的多准则决策方法。它把一个复杂问题分解成因素，然后把这些因素按支配关系分组形成有序的递阶层次结构，并衡量各方面的影响，最后综合人的判断，以决定决策诸因素相对重要性的先后优劣次序。
27、层次分析法通常用于解决多因素，且各因素不易量化，目标与因素的关系式难以求解的抉择问题。,目标层,准则层,方案层,怎样使用层次分析法？,建立层次结构模型。构造第i+1层的两两比较矩阵。计算第i+1层各项的权重。计算最后一层对于目标的组合权重。,层次分析法的理论基础是什么？,例1 选拔干部,方案层的两比较矩阵为,目标层,准则层,方案层,目标层的两比较矩阵,品德,才能,资历,年龄,群众关系,组合权向量为,目标层,准则层,方案层,7 数据的统计描述与分析,在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.随机变量表示随机现象各种结果的变量。研究对象全体的集合称为总体,总体的一个基本组成单位,即每一
28、个数据称为个体,总体可以认为包含无穷多个个体.若干个个体称为样本,若样本包含n个个体,称n为样本容量.为了从样本推断总体,常常要构造样本的某种函数,这种函数称为统计量.,统计量,平均值:中位数:排序后位于中间的数标准差:方差:,表示分布的中心位置,表示随机变量与中心的距离,统计量,偏度:峰度:k阶原点矩:k阶中心矩:,反映分布的对称性,反映分布的集中程度,反映随机变量与原点的距离,反映随机变量与中心的距离,例 报童的决策,报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回设报纸每份的购进价为0.8，零售价为 1，退回价为0.75.每天报纸的需求量是随机的.假设已经得到159天报纸的需求量
29、情况(如下表).为了获得最大的利润,该报童每天应购进多少份报纸?,159天报纸需求量的分布情况,假设,报童天购进量为n,平均每天收入为G(n).设报纸每份的购进价为b，零售价为 a，退回价为c.报纸每天的需求量r是随机的,概率为f(r).,模型建立,报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量rn，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量rn，则n份将全部售出考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以这就归结为已知a,b,c,f(r),求n使G(n)最大.,将r视为连续量,这时概率f(r)变为概率密度函数,记为p(r).则令,得,p(r)的估计.假设r是服从正态分布的随机变量,即利用表中的数据和最小二乘法可以得到和的估计=200,=37.于是由可以得到n的值.取a=1,b=0.8,c=0.75解得n=231.14231.,
