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1、第五章 傅里叶变换,对自然界的最深刻的研究是数学最富饶的源泉。-傅里叶,学习要求与内容提要,目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握周期函数的傅 里叶展开、定义和性质；函数的 定义与性质。,重点：,难点：,傅里叶变换、函数。,函数的概念。,1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。,傅立叶的两个最主要的贡献:,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,5.1 傅里叶
2、级数,1.波的叠加 在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 Asin(t+)的波,其中A是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.,（一）周期函数的傅里叶展开,非正弦周期函数:矩形波,可以用不同频率正弦波叠加构成！,由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)=f(x)可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.,-l,l上的积分等于 0.,其中任意两个不同的函数之积在,2.三角函数族及其正交性,引入三角函数族,上的积分不等于 0.,两个相同的函数的乘积在-l,l,证:,同理可证:,任意两个不同的函数之积在-l,l
3、上的积分等于 0.,同理可证:,两个相同的函数的乘积在-l,l上的积分不等于 0.,证:,11,如果周期为2l 的函数 f(x)满足收敛定理条件,则它可以展开式为下列级数,(在 f(x)的连续点处),3.周期函数的傅里叶展开,式 称为f(x)的傅里叶级数.,式中a0,ak,bk称为函数f(x)的傅里叶系数;,问题:a0,ak,bk 等于什么?,我们利用三角函数族的正交性来求解,12,对在-l,l逐项积分,得,乘 在-l,l逐项积分并运用正交性,得,由三角函数的正交性0,由三角函数的正交性得0,n=k,由三角函数的正交性0,13,类似地,用 sin k/l 乘 式两边,再逐项积分可得,归纳:,(
4、1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；,(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，,且,在收敛点有：,在间断点有：,狄里希利定理:若函数f(x)满足条件：,4.傅里叶级数的收敛性定理,注:第一类间断点 如果f(x)在间断点x0处左右极限存在,则称点x0为f(x)的第一类间断点.,15,其中,(在 f(x)的连续点处),如果 f(x)为奇函数,则a0和ak均为零，即有傅里叶正弦级数,（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开,说明：,如果 f(x)为偶函数,则bk为零，即有傅里叶余弦级数,(在 f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里叶级数
5、,都收敛于,说明：,当函数定义在任意有限区间上时,变换法,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,回代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,（三）有限区间中的函数的傅里叶展开*(自学),延拓法,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,利用欧拉公式,已知周期为 2 l 的周期函数f(x)可展开为级数：,（四）复数形式的傅里叶展开,注意到,同理,傅里叶级数的复数形式:,因此得,例2：,矩形波,解：,coskk=2n:cosk=1k=2n+1:cosk=-1,1.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f(x)为奇(偶)函数时,为正弦(余弦)级数.,2.在
6、任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,内容小结,12,5.1 作业,25,周期函数的性质是f(x+2l)=f(x),x每增大2l，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅里叶积分”。,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,考察复数形式的傅里叶级数:,（一）傅里叶变换,26,非周期函数的复数形式的形式“傅里叶级数”:,引入新参量：,上式改写为：,27,令,有,若 有限，则非周期函数可以展开为,称f(x)的傅里叶变换,称F()的逆傅里叶变换,像函数,原函数,注意到：,28,傅里叶积分定理：若函数 f(x)在区间(-，+
7、)上满足条件:(1)在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)在区间(-，+)上绝对可积（即 收敛），则 f(x)可表为傅里叶积分，且 傅里叶积分值=,f(x)的傅里叶变换式,奇函数与偶函数的傅里叶变换,傅里叶变换对,30,当f(x)是偶函数,当f(x)是奇函数,进一步注意到,当f(x)是偶函数,同理,当f(x)是奇函数,31,例1,定义:矩形函数为,将矩形脉冲 展开为傅里叶积分。,解:矩形脉冲函数的周期为-T,T,如右图.,(1)导数定理,（二）傅里叶变换的基本性质,根据傅里叶积分定理，,(2)积分定理,由变上限积分定理：,由导数定理,利用导数定理证明，记,(3)相似性定理,空域中的压缩（扩展）
8、等于频域中的扩展（压缩）,f(x/2),压缩,扩展,(4)延迟定理,(5)位移定理,36,例2求：,的频谱？,解：,由 位移定理,则,卷积定义,卷积 卷积定理反映了两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系。卷积对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。,其中是积分伪变量。,两个函数f(x)和g(x)的卷积记作f(x)*g(x)，由下式所定义：,（7）帕塞瓦尔等式能量守恒,(三)傅里叶变换的物理意义,求和,振幅谱,相位谱,(四)高维傅里叶变换,二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换定义如下：设f(x,y)是两个独立变量x,y的函数，且在上绝对可积，则定义积分 为
9、二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换，并定义 为F(k1,k2)的逆变换。f(x,y)和F(k1,k2)称为傅里叶变换对。,（1）,（2）,1 二维傅里叶变换,例2:求函数,的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射)。,解：由傅里叶变换关系,有,其幅度谱为,2 三维Fourier变换,其中：,5.21,5,本讲作业,1.源与场 质点引力场，电荷电场，热源温度场2.点源：质点点电荷点热源点光源 点电荷激发的场：点源q0位于 0处，场点位于r 处的电场的数学表示：3.连续分布的源所产生的场：无数个点源产生的场的叠加。如何描述点源?,5.3 函数(特殊函数),（一）函数,在物理学中对于在某种坐标系下高度集中的
10、量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等，常用一个特殊的函数函数来描述。,设质量m均匀分布在长为l的线段-l/2,l/2上（如图）,进一步设线的单位长度质量即线质量密度为l：,下面我们从质点的描述来引入函数,线段总质量：,质点的极限下总质量不变，即,在总质量不变的条件下：,53,引入广义函数：函数,一般地，我们有定义1：,且,量纲为：1/x,(x)的形象描述见（图示）,54,（二）性质,(1)偶函数,恒有,利用积分形式证,55,(2)阶跃函数或亥维赛单位函数(函数的原函数),(3)复合函数(尺度变换),若 的实根 全部是单根，则,由变上限积分定理（函数是阶跃函数的导函数）：,56,证明：按定义,上面等式两边分别在第n个根xn附近积分：,例1,即,因 的实根 全部是单根，则,(4)数傅立叶变换对,1,x,0,1,0,x,0,0,(三)函数是一种广义函数,上述极限是就积分意义上而言的。,(高斯函数）,(双边指数函数),所以函数有多种定义：,（四）函数傅里叶变换,（五）多维函数,5.32,本讲作业,
