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1、数学物理方程,二阶常微分方程,二阶常微分方程,常用齐次定解问题数学物理中的对称性特殊函数常微分方程常微分方程的级数解法斯图姆刘维尔本征值问题本章小结,常用齐次定解问题,常用齐次定解问题的要素常用齐次定解问题的分类拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符形式的推导,常用齐次定解问题要素,常用齐次定解问题的分类,！,！,拉普拉斯算符的形式,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,极坐标下的形式,直角坐标下的形式,坐标变换关系,微分变换关系,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,化为极坐标,利用多元复合函数求导：,（一）,令,则,(1),(2),极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,由,(1),得,由此解出,极坐标下拉普拉斯算符
2、形式的推导,得算子,再微分一次，并利用上式算子，得,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,(2),由,得,(A),极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,变换上式中,对于,类似得出：,联立得,所以,因此,数学物理中的对称性,对称性的概念定义：对称性就是在某种变换下的不变性分类对称性的描述对称性原理当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。对称性的应用,对称性的分类,对称性的描述,对称性的应用柱坐标输运方程,特殊函数常微分方程,球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况勒让德方程极坐标下热传导方程的分离变量一般情况亥姆霍兹方程，贝塞尔
3、方程轴对称情况,特殊函数,特殊函数一般是指某类微分方程的解又不能用初等函数的有限形式表示的函数.但是这类函数在应用中是常见的,比如勒让德函数,贝塞耳函数及许多正交多项式等;另外一些是由特定形式的积分所定义的函数,如-函数,B-函数.还有从函数的周期性的角度来考虑的所谓椭圆函数,这类函数与微分方程无关.本章除了介绍这些函数的概念外,还给出关于函数的一些积分、级数和无穷乘积等表达式、渐近形式、函数之间的关系以及它们的常用性质.,特殊函数范例,引用如下符号-伽马函数,式中 为正整数，为任意数.,3.1由积分定义的特殊函数,3.特殊函数,伽马函数（-函数）,-函数的定义与其他表达式,1o,2o,积分路
4、线从负实轴上无穷远处 出发，正向绕原点一周，再回到出发点,3.1由积分定义的特殊函数,3特殊函数,3o,4o,式中 称为欧拉常数。,3.1由积分定义的特殊函数,3特殊函数,-函数有关公式,为正整数特别（余元公式）特别,3.1由积分定义的特殊函数,3特殊函数,3.1由积分定义的特殊函数,殊函数,可化为-函数的积分,1由积分定义的特殊函数,特殊函数,3o,4o,式中 称为欧拉常数。,由积分定义的特殊函数,特殊函数,-函数有关公式,为正整数特别（余元公式）特别,由积分定义的特殊函数,特殊函数,由积分定义的特殊函数,特殊函数,可化为-函数的积分,球坐标下拉普拉斯方程,球坐标下拉普拉斯方程,极坐标下热传
5、导方程,常微分方程的级数解法,常微分方程中点的分类各点邻域级数解的形式勒让德方程的级数解贝塞尔方程的级数解,常微分方程中点的分类,二阶变系数常微分方程的一般形式w”+p(z)w+q(z)w=0方程中点的分类常点：z0 是 p(z)和 q(z)的解析点正则奇点：z0 是(z-z0)p 和(z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况,各点邻域级数解的形式,非正则奇点 z0 邻域有一解为,常点z0邻域两解均为,正则奇点 z0 邻域有一解为其中 s 由判定方程确定,a00,贝塞尔方程的级数解,ak0=0,贝塞尔方程的级数解,贝塞尔方程的级数解,性质：奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；
6、收敛性：特解的收敛半径为；有界性：在 x 0，m0 时,Jm有界，Nm发散。,斯图姆刘维尔本征值问题,本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：相应的非零解本征值问题：求本征值和本征函数的问题斯特姆刘维尔本征值问题斯特姆刘维尔型方程斯特姆刘维尔型边界条件斯特姆刘维尔本征值问题的性质可数性：存在可数无限多个本征值；非负性：所有本征值均为非负数；正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。,斯特姆刘维尔本征值问题,斯特姆刘维尔型方程,其中k(x)、q(x)和(x)都非负；k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。斯特姆刘维尔型边界条件三类齐次边界条件周期性边界条件有界性边界条件,斯特姆刘维尔本征值问题,本征函数集合的正交性和完备性,正交性,完备性,展开系数,本征函数集合的正交性和完备性,例题1,问题,本征函数,正交性,完备性,本征函数集合的正交性和完备性,例题2,问题,本征函数,正交性,完备性,本征函数集合的正交性和完备性,例题3,问题,本征函数,正交性,完备性,本章小结,
