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1、2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,1,第五章 假设检验Hypothesis Testing(SignificanceTest),假设检验是数理统计学中最重要的问题之一，与参数估计并称为数理统计学的两类基本问题。,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,2,什么是假设检验？,5 假设检验,将实际问题表述成针对总体的两对立假设H0和H1，依据样本观察值x1,x2,xn提供的信息，采用小概率事件原理做出是否拒绝原假设H0的决策，此决策过程就称作统计假设检验，简称假设检验。由于两假设H0与H1彼此对立，拒绝H0就意味着接受H1，不拒绝H0就意味着拒绝H1，两者只能取其
2、一，因此问题终会有结论。,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,3,本章内容,5 假设检验,5.1 假设检验原理5.2 正态总体均值Z检验5.3 正态总体均值t 检验5.4 正态总体方差2 检验5.5 正态总体均值差t 检验5.6 正态总体方差比F检验5.7 分布拟合2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,4,本章重点,正态总体均值t 检验正态总体方差2 检验正态总体均值差t 检验正态总体方差比F检验分布拟合2检验,5 假设检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,5,5 假设检验,5.1 假设检验原理Testingmechanism o
3、fhypotheses,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,6,已验证，计量装袋机的装料重量X是一个均值为、方差为2的正态随机变量。规定袋装葡萄糖的平均装料重量为0.5kg(记作0)。为检验计量装袋机的运行是否偏离企业的技术规定，随机抽检了该机器封装的9袋葡萄糖的净重(kg)，检测结果为0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512,5.1 假设检验原理,(1)案例资料,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,7,5.1 假设检验原理,(2)提出问题,计算样本均值发现：,由大数定律可知，样本均值 是总体
4、均值的近似值，抽样结果使我们不得不怀疑计量装袋机的平均装料重量是否已大于0.5？,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,8,5.1 假设检验原理,(2)提出问题,我们对总体的均值有三种猜测：,无论哪种猜测，目前其可能性大小都只是一种感觉，我们无法合理作出结论，需要量化。,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,9,5.1 假设检验原理,(3)设立统计假设,将问题表述为两对立的统计假设，即把一个实际问题变换为一个可计算推断的数学问题：,将要解决的问题变换成统计假设,决策或决断H0为真称作接受H0决策或决断H0为假称作拒绝H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计0
5、5_假设检验,10,选择一个能对假设做出决策的检验工具，即一个合适的统计量。它应包含被检验参数但不包含其它未知参数，且概率分布确定,5.1 假设检验原理,Tdf统计量包含被检验参数，服从自由度df=n-1的t(df)分布，概率分布确定，能用于计算所考察事件的概率。,选定,选择一个能计算事件概率的统计量,(4)选择检验工具,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,11,5.1 假设检验原理,试验结果是已发生的事实，是决断H0的合理依据。但证据需要量化，故选定Tdf的抽样观察值t作证据。,(5)搜集不利H0的证据,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,12,5.1 假
6、设检验原理,若H0为真，则统计量Tdf的真实观察值不小于它的抽样观察值t，而t表征了现实与假设之间的偏离程度：,(5)搜集不利H0的证据,0可能性愈小,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,13,5.1 假设检验原理,样本统计量的抽样观察值是已发生的事实，它们具有决断H0的证据效力：,(5)搜集不利H0的证据,样本均值的证据效力间接而不明确,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,14,5.1 假设检验原理,(5)搜集不利H0的证据,样本统计量的抽样观察值是已发生的事实，它们具有决断H0的证据效力：,t的证据效力直接而明确,2023/10/14,王玉顺：数理统计0
7、5_假设检验,15,5.1 假设检验原理,由统计量Tdf和它在假设H0下的抽样观察值t构造抽样观测事件，用以表征现实与假设之间的偏离程度：,(6)考察证据的充分性,抽样观测事件,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,16,5.1 假设检验原理,计算H0下发生抽样观测事件的概率p，差值1-p表征了以证据t拒绝H0的充分性程度：,(6)考察证据的充分性,p值愈小偏离H0愈大，按小概率事件原理，一次试验若p则抽样观测事件视作不可能事件，此时拒绝H0则证据达到充分性水平1-,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,17,5.1 假设检验原理,从另一个角度看问题，一旦试验结
8、果确定，则p值可表示为原假设H0成立的概率：,(6)考察证据的充分性,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,18,5.1 假设检验原理,若H0为真但作出拒绝H0的决策，则p值表征了犯第一类错误的最大概率：,P(拒绝H0|H0为真)p,犯第一类错误的真实概率不大于p,(6)考察证据的充分性,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,19,5.1 假设检验原理,(6)考察证据的充分性,1-p=0.9964,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,20,5.1 假设检验原理,对原假设H0的检验问题，归结为计算抽样观测事件的概率p值，它相对1的余数1-p代表了
9、拒绝H0的证据所达到的充分性程度，故可依据p值对是否接受H0进行决策：,(6)考察证据的充分性,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,21,5.1 假设检验原理,(7)依据p值决策,p=0.0036说明，抽样观测值t在原假设H0下不应发生,决策规则：p就拒绝H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,22,5.1 假设检验原理,决策规则：p就拒绝H0,依照小概率事件原理，概率小于0.05的抽样观测事件在一次试验中按不可能事件处理按决策规则，做出拒绝H0决策可能犯错的最大概率p不大于0.05，故决策拒绝H0,P(拒绝H0|H0为真)p,(7)依据p值决策,2023
10、/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,23,5.1 假设检验原理,(8)依据t值决策,p值不大于0.05的统计量Tdf抽样观察值t的范围称作拒绝域，记作W依小概率事件原理，统计量Tdf的抽样观察值t落在拒绝域内就拒绝H0。,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,24,5.1 假设检验原理,对原假设H0的检验问题，可归结为计算T统计量的抽样观测值t，若它的值落入拒绝域，则代表了拒绝H0的证据已达到1-的充分性水平，故可依据t值与拒绝域的比较对是否接受H0进行决策：,(8)依据t值决策,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,25,5.1 假设检验原理,决策规
11、则：Tdf的抽样观察值属于Wt就拒绝H0,统计量值t在一次试验中落入Wt中是小概率事件，依小概率事件原理按不可能事件处理按决策规则，做出拒绝H0决策可能犯错的最大概率不大于0.05，故决策拒绝H0,(8)依据t值决策,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,26,5.1 假设检验原理,(8)依据t值决策,t=3.5778在拒绝域内，说明它在原假设H0下不应发生,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,27,5.1 假设检验原理,决策规则倾向于保护原假设,结论：因p=0.00361.8595属于拒绝域，故0.05水平上否定H0，认定计量装袋机的平均装料重量大于规定的0
12、.5kg,(9)检验结论,决策原理：p值愈小，依样本证据否定H0犯错的概率就愈小，与临界概率比较，若p就否定H0，若p就不否定(接受)H0；,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,28,检验计量装袋机的运行是否偏离技术规定，可归结为利用抽检数据提供的信息解决下述3个问题：(a)装袋料重X的均值(期望)是否等于0.5kg(b)装袋料重X的均值(期望)是否低于0.5kg(c)装袋料重X的均值(期望)是否高于0.5kg,5.1 假设检验原理,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,29,5.1 假设检验原理,将问题表述为两对立的统计假设，即把一个
13、实际问题变换为一个可计算推断的数学问题：,将实际问题变换成统计假设,决策或决断H0为真称作接受H0决策或决断H0为假称作拒绝H0,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,30,5.1 假设检验原理,将实际问题变换成统计假设,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,31,计算H0下检验统计量Tdf的抽样观察值t,5.1 假设检验原理,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,32,5.1 假设检验原理,计算H0下发生抽样观测事件的概率p,抽样观测事件选为,(10)案例的三类检验,202
14、3/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,33,5.1 假设检验原理,决策规则：Tdf的抽样观察值属于Wt就拒绝H0,统计量值t在一次试验中落入Wt中是小概率事件，依小概率事件原理按不可能事件处理按决策规则，做出拒绝H0决策可能犯错的概率不大于0.05，故决策拒绝H0,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,34,5.1 假设检验原理,p=0.0072说明，看到的抽样观察值t在H0下不应发生,决策规则：p就拒绝H0,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,35,5.1 假设检验原理,计算H0下检验统计量Tdf的抽
15、样观察值t,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,36,5.1 假设检验原理,计算H0下发生抽样观测事件的概率p,抽样观测事件选为,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,37,5.1 假设检验原理,p=0.9964说明，发生抽样观察值t与原假设H0不矛盾,决策规则：p就拒绝H0,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,38,5.1 假设检验原理,计算H0下检验统计量Tdf的抽样观察值t,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,39,5.1
16、假设检验原理,计算H0下发生抽样观测事件的概率p,抽样观测事件选为,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,40,5.1 假设检验原理,p=0.0036说明，看到的抽样观察值t在H0下不应发生,决策规则：p就拒绝H0,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,41,5.1 假设检验原理,决策规则倾向于保护原假设,问题(a)决策：p=0.0072，故0.05水平上接受H0，认为平均装料重量不小于0.5kg 问题(c)决策：p=0.0036，故0.05水平上否定H0，认为平均装料重量大于0.5kg,决策原理：p值愈小，依样本
17、证据否定H0犯错的概率就愈小，与临界概率比较，若p就否定H0，若p就不否定(接受)H0；,(10)案例的三类检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,42,5.1 假设检验原理,决策规则倾向于保护原假设,原假设H0下发生抽样观测事件的概率为p若p则说明该事件是一个小概率事件，依小概率事件原理它在一次试验中不应发生。然而抽样观测事件是已发生的事实，一个假设H0下本不该发生的事件居然发生了，事实与假设矛盾。逻辑上只有推测原假设H0可能是错误的，故否定H0。若H0为真，依照样本证据否定H0可能犯错的最大概率为p。,(11)讨论几个问题,(a)假设检验的推理逻辑,2023/10/14
18、,王玉顺：数理统计05_假设检验,43,5.1 假设检验原理,决策规则倾向于保护原假设,原假设H0下发生抽样观测事件的概率为p；若p则说明该事件是一个大概率事件，依大数定律一次试验中该事件应会发生；一个假设H0下应发生的事件也确实发生了，事实与假设并不矛盾。现有的样本证据不足以否定H0，按疑罪从无原则接受H0。,(11)讨论几个问题,(a)假设检验的推理逻辑,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,44,5.1 假设检验原理,(11)讨论几个问题,(b)为什么p就拒绝H0？,拒绝H0可能犯错的概率pH0=p，p就否定H0结论等价,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检
19、验,45,5.1 假设检验原理,(11)讨论几个问题,(b)为什么p就拒绝H0？,拒绝H0可能犯错的概率pH0 p，p就否定H0结论更强,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,46,5.1 假设检验原理,(11)讨论几个问题,(b)为什么p就拒绝H0？,拒绝H0可能犯错的概率pH0 p，p就否定H0结论更强,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,47,5.1 假设检验原理,(11)讨论几个问题,(c)为什么p就接受H0？,拒绝H0可能犯错的概率pH0=p，p就否定H0不充分,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,48,5.1 假设检验原理,(11
20、)讨论几个问题,(c)为什么p就接受H0？,拒绝H0可能犯错的概率pH0p，p就否定H0不充分,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,49,5.1 假设检验原理,(11)讨论几个问题,(c)为什么p就接受H0？,拒绝H0可能犯错的概率pH0p，p就否定H0不充分,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,50,(d)检验水平significance level,5.1 假设检验原理,设定检验水平，也就是选择=0.05或0.01或其它值；是小概率事件的临界概率，它的大小表示多小概率的事件将作为不可能事件处理；愈小则在否定H0时需要更强(更严)的证据，但也意味着我们更可
21、能以假当真。,国际共识=0.05或=0.01,(11)讨论几个问题,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,51,只选Z、2、T、F四者之一做检验统计量解决所有问题，适用统计量要求包含被检验参数但不包含其它未知参数，且概率分布确定。非正态总体抽样可采用大样本方法。与H1中的0及0三类假设相对应，匹配的抽样观测事件型式分别是“统计量观察值”和“|统计量|观察值|”，代表样本偏离H0的程度。,5.1 假设检验原理,(11)讨论几个问题,抽样观测事件测量样本偏离H0的程度,(e)检验统计量和抽样观测事件,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,52,(f)用拒绝域做决策,
22、5.1 假设检验原理,(11)讨论几个问题,拒绝H0所规定的统计量值范围称作拒绝域,，,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,53,H0：0H1：0,5.1 假设检验原理,(12)参数假设检验的步骤,参数的零假设(无效假设，原假设),参数指定值被比较参数,被检验参数,参数的备选假设(备择假设),Alternative hypothesis,Null hypothesis,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,54,步骤1：将问题表述为两对立的假设H0和H1；步骤2：选定检验水平(significance level)；步骤3：选择检验统计量，要求包含被检验参数但
23、不包含其它未知参数，概率分布确定；步骤4：计算H0下检验统计量的抽样观察值；步骤5：根据H1构建由统计量与其观察值所表的抽样观测事件，被检验参数”；不定用“|统计量|观察值|”；步骤6：计算零假设H0下发生抽样观测事件的概率p(尾概率)；步骤7：做出决策，p否定H0，p接受H0,(12)参数假设检验的步骤(程序化过程),2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,55,总体分布类型已知，判断总体参数与某指定值或两总体参数是否满足某种指定关系的假设检验称作参数检验；分布类型未知，对其拟合某种指定分布，并判断其是否适合的假设检验，称作分布拟合检验(拟合优度检验)。,5.1 假设检验原理,
24、(13)假设检验类型,按检验对象分类,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,56,5.1 假设检验原理,(13)假设检验类型,按假设类型分类,双侧检验两尾检验H0：=0H1：0,决策规则p否定H0p接受H0,Two sided testTwo-tailed test,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,57,5.1 假设检验原理,(13)假设检验类型,One sided testLeft sided test,左方检验左侧检验左尾检验H0：0H1：0,决策规则p否定H0p接受H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,58,5.1 假设检验原理
25、,One sided testRight sided test,(13)假设检验类型,右方检验右侧检验右尾检验H0：0H1：0,决策规则p否定H0p接受H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,59,假设检验的决策会发生两类错误：,错误,错误,5.1 假设检验原理,(14)假设检验的两类错误,第一类错误为“弃真”，犯第一类错误的概率P(否定H0|H0为真)第二类错误为“取伪”，犯第二类错误的概率P(接受H0|H1为真),Error type I,Error type II,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,60,5.1 假设检验原理,假设检验的可能决策结果
26、,(14)假设检验的两类错误,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,61,5.1 假设检验原理,(14)假设检验的两类错误,减小检验水平的值犯错误的概率减小犯错误的概率增加,两类错误的统计解释,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,62,5.1 假设检验原理,(14)假设检验的两类错误,减小犯第一类错误的概率，必然增加犯第二类错误的概率，反之亦然。犯两类错误的概率都减小的唯一方法是增大样本容量,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,63,5.1 假设检验原理,(14)假设检验的两类错误,样本容量n较小，犯两类错误的概率均较大。,增大样本容量n，犯
27、两类错误的概率均变小。,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,64,5.1 假设检验原理,(15)正态总体假设检验一览,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,65,5.2 正态总体均值Z检验Z test on the normalmean,5 假设检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,66,某企业生产寿命不小于1000h的10电阻，据以往经验，产品的阻值和寿命均服从正态分布，电阻标准差为0.1，寿命标准差50h。用户随机抽取10只电阻，试图由样本提供的信息确认：(a)产品平均电阻是否为10；(b)产品寿命是否不小于1000h。测得平均寿命9
28、70h及电阻数据如下：9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,10.5,10.1,10.2,5.2 正态总体均值Z检验,(1)案例资料,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,67,案例基本情况：1)产品阻值和寿命均是正态总体的随机变量，获得样本容量10的电阻数据和平均寿命 2)两个问题的方差已知，选统计量时将考虑这一条件，本案例选Z统计量 3)问题(a)是要求检验=10 4)问题(b)是要求检验1000,(2)梳理问题和条件,5.2 正态总体均值Z检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,68,H0：=10H1：10,将问题(a)表述为下述统
29、计假设：,将实际问题变换成统计假设,H0：1000H1：1000,将问题(b)表述为下述统计假设：,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,步骤1：将问题表述为两对立的统计假设,0=10,0=1000,阻值问题,寿命问题,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,69,步骤2：选定检验水平=0.05(significance level),步骤3：选检验统计量Z，因其包含被检验参数，且零假设H0下概率分布确定,5.2 正态总体均值Z检验,比较：,(3)问题的均值Z检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,70,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均
30、值Z检验,步骤4：根据假设H1的类型，构建由统计量Z与其抽样观察值z所表的抽样观测事件,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,71,步骤5：阻值问题，计算H0下检验统计量Z的抽样观察值z,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,72,5.2 正态总体均值Z检验,步骤6：根据=0.05导出拒绝域,(3)问题的均值Z检验,步骤7：决策,接受H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,73,步骤6：计算零假设H0下发生抽样观测事件的概率p,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,步骤7：因p
31、=0.1140.05，故接受H0，0.05显著性水平上确认产品的平均电阻为10欧姆。,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,74,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,阻值问题决策,p=0.1140.05|z|=1.58111.960.05水平接受H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,75,步骤4：根据假设H1的类型，构建由统计量Z与其抽样观察值z所表的抽样观测事件,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,76,5.2 正态总体均值Z检验,步骤5：计算H0下检验统计量Z的抽样观
32、察值z,(3)问题的均值Z检验,步骤6：根据=0.05导出拒绝域,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,77,步骤7：因Z统计量抽样观察值z=-1.8974-1.65在拒绝域内，故0.05水平上否定H0，元件寿命不合格。,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,步骤6：根据=0.05导出拒绝域,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,78,步骤6：计算H0下发生抽样观测事件的概率p,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,步骤7：因p=0.02870.05，故0.05显著性水平上否定零假设H0，认定这批电子元件的平均寿命小于规定的1000h
33、，元件寿命不合格。,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,79,5.2 正态总体均值Z检验,(3)问题的均值Z检验,因p=0.02870.05因z=-1.8974-1.650.05水平拒绝H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,80,5.2 正态总体均值Z检验,(4)均值双侧Z检验小结,p否定H0p接受H0,适用于方差已知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,81,5.2 正态总体均值Z检验,(4)均值双侧Z检验小结,适用于方差已知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,82,5.2 正态总体均值
34、Z检验,(5)均值左侧Z检验小结,p否定H0p接受H0,适用于方差已知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,83,5.2 正态总体均值Z检验,(5)均值左侧Z检验小结,适用于方差已知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,84,5.2 正态总体均值Z检验,(6)均值右侧Z检验小结,p否定H0p接受H0,适用于方差已知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,85,5.2 正态总体均值Z检验,(6)均值右侧Z检验小结,适用于方差已知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,86,
35、5.3 正态总体均值t检验t test on the normalmean,5 假设检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,87,已验证，计量装袋机的装袋料重X是一个正态随机变量。规定袋装葡萄糖的装料重量X的均值为0.5kg。随机抽检了所产9袋葡萄糖的净重(kg)，检测数据分别是0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512，试根据此样本提供的信息确认(a)装料重量的均值是否等于0.5kg；(b)装料重量的均值是否低于0.5kg；(c)装料重量的均值是否高于0.5kg。,5.3 正态总体均值t检验,(1)案例资料,
36、2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,88,案例基本情况：产品净重样本抽自正态总体，样本容量为9，规定总体均值为0.5kg。总体的方差未知，考虑这一条件，本案例选Tdf统计量。问题(a)的原假设是=0.5 问题(b)的原假设是0.5 问题(c)的原假设是0.5,(2)梳理问题和条件,5.3 正态总体均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,89,(3)问题的均值t检验,H0：=0.5H1：0.5,将问题(a)表述为下述统计假设：,步骤1：将问题表述为两对立的统计假设,实际问题变换为统计问题,5.3 正态总体均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统
37、计05_假设检验,90,步骤1：将问题表述为两对立的统计假设,实际问题变换为统计问题,5.3 正态总体均值t检验,步骤2：设定检验水平(significance level),(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,91,步骤3：选择检验统计量，包含被检验参数，不包含其它未知参数，概率分布确定；,Tdf统计量包含被检验参数，服从自由度为df=n-1的t(df)分布(概率分布确定)，可胜任问题(a)、问题(b)及问题(c)的解决。,选定,选择一个解决问题的工具-统计量,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计
38、05_假设检验,92,步骤4：根据H1构建由统计量与其观察值所表的抽样观测事件，被检验参数”；不定用“|统计量|观察值|”,构造一个能测量偏离原假设H0的事件,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,93,5.3 正态总体均值t检验,步骤5：计算假设H0下统计量的抽样观察值t,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,94,步骤5：计算假设H0下统计量的抽样观察值t,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,95,步骤6：计算H0
39、下发生抽样观测事件的概率p,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,96,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,p=0.00720.050.05水平否定H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,97,步骤6：计算H0下发生抽样观测事件的概率p,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,98,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,p=0.99640.050.05水平接受H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设
40、检验,99,步骤6：计算H0下发生抽样观测事件的概率p,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,100,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,p=0.00360.050.05水平否定H0,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,101,决策规则倾向于保护原假设,问题(a)决策：p=0.0072，故0.05水平上接受H0，认为装料重量的均值不小于0.5kg 问题(c)决策：p=0.0036，故0.05水平上否定H0，认为装料重量的均值大于0.5kg,做出决策：p值愈小，依样本证据否定H0犯错的概率就愈小
41、，与临界概率比较，若p就否定H0，若p就不否定(接受)H0；,5.3 正态总体均值t检验,(3)问题的均值t检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,102,(4)均值双侧t检验小结,5.3 正态总体均值t检验,p否定H0p接受H0,适用于方差未知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,103,(4)均值双侧t检验小结,5.3 正态总体均值t检验,适用于方差未知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,104,(5)均值左侧t检验小结,5.3 正态总体均值t检验,p否定H0p接受H0,适用于方差未知的正态总体样本,20
42、23/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,105,(5)均值左侧t检验小结,5.3 正态总体均值t检验,适用于方差未知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,106,(6)均值右侧t检验小结,5.3 正态总体均值t检验,p否定H0p接受H0,适用于方差未知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,107,(6)均值右侧t检验小结,5.3 正态总体均值t检验,适用于方差未知的正态总体样本,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,108,5.4 正态总体方差2检验Chi-square test on the norma
43、l variance,5 假设检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,109,(1)案例资料,某公司所加工轴零件的某一轴径尺寸服从正态分布，该公司声称该轴径的制造误差不超过0.096mm。用户为验证公司的说法，随机抽取5个轴零件，测得产品尺寸数据如下：10.095,10.025,10.085,10.045,10.065 根据样本提供的信息，试检验公司的说法并做出结论。,5.4 正态总体方差2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,110,公司所加工的一批轴是我们要研究的总体，按照6原则，制造误差0.096mm是制造标准差的6倍，即=0.096/6=0.0
44、16，问题可归结为对20.0162和20.0162做出检验决策。除5个数据外，案例没有提供其它已知条件。需选2检验统计量，因其包含被检验参数2但不包含其它未知参数，分布确定。,5.4 正态总体方差2检验,(2)梳理问题和条件,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,111,步骤1：将问题表述为下面的统计假设,问题陈述：利用正态总体XN(,2)的样本x1,x2,xn检验关于总体方差2的假设,5.4 正态总体方差2检验,(3)问题的方差2检验,H0：20.0162H1：20.0162,问题类型属于正态总体方差的右方2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,112,
45、5.4 正态总体方差2检验,步骤2：设定检验水平(significance level),一般选=0.05,(3)问题的方差2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,113,5.4 正态总体方差2检验,步骤4：根据H1中的假设类型20.0162，匹配地构建由统计量 与其抽样观察值所表的抽样观测事件,(3)问题的方差2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,114,5.4 正态总体方差2检验,(3)问题的方差2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,115,步骤6：计算H0下发生抽样观测事件的概率p,5.4 正态总体方差2检验,(3)问
46、题的方差2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,116,5.4 正态总体方差2检验,(3)问题的方差2检验,步骤7：若p否定H0；若p接受H0,p=0.01120.05，0.05水平上否定H0，即认定2大于0.0162mm。结果表明，这批轴的轴径加工误差与公司所声称的加工精度不符,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,117,5.4 正态总体方差2检验,步骤6：导出H0下右方2检验的拒绝域,(3)问题的方差2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,118,5.4 正态总体方差2检验,因2统计量的抽样观察值12.81259.488在拒绝域
47、内，故0.05水平上否定H0而接受H1，即认定20.0162mm。结果表明，这批轴的轴径加工误差与公司所声称的加工精度不符。,步骤7：利用右方2检验的拒绝域决策,(3)问题的方差2检验,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,119,5.4 正态总体方差2检验,(4)方差2检验小结,双侧2检验：左方2检验：右方2检验：,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,120,双侧2检验：p=2Min(p1,p2)，p否定H0，p接受H0左方2检验：p=p1否定H0，p接受H0右方2检验：p=p2否定H0，p接受H0,5.4 正态总体方差2检验,(4)方差2检验小结,依p值决
48、策,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,121,5.4 正态总体方差2检验,(4)方差2检验小结,依拒绝域决策,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,122,5.4 正态总体方差2检验,计算H0下发生下面两种抽样观测事件的概率p1和p2,(5)p值决策法讨论,三种检验的p值可由p1和p2导出,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,123,5.4 正态总体方差2检验,(5)p值决策法讨论,双侧2检验的p值计算,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,124,5.4 正态总体方差2检验,(5)p值决策法讨论,p=0.02450.05故
49、0.05水平上否定H0，即认定2不等于0.0162,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,125,5.4 正态总体方差2检验,左侧2检验的p值计算,(5)p值决策法讨论,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,126,5.4 正态总体方差2检验,(5)p值决策法讨论,因p=0.98780.05故0.05水平上接受H0，认定2大于等于0.0162mm,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,127,5.4 正态总体方差2检验,右侧2检验的p值计算,(5)p值决策法讨论,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,128,5.4 正态总体方差2
50、检验,(5)p值决策法讨论,p=0.012230.05故0.05水平上拒绝H0，即认定2大于0.0162mm,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,129,根据导出H0下双侧2检验的拒绝域,5.4 正态总体方差2检验,(6)拒绝域决策法讨论,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,130,5.4 正态总体方差2检验,(6)拒绝域决策法讨论,根据导出H0下双侧2检验的拒绝域,2023/10/14,王玉顺：数理统计05_假设检验,131,5.4 正态总体方差2检验,5.4 正态总体方差2检验,(6)拒绝域决策法讨论,因2统计量观察值12.812511.143在拒绝域内
