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1、,第一章,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限的计算、两个重要极限,二、极限的四则运算法则,三、计算极限举例,一、无穷小运算法则,四、两个重要极限,时,有,一、无穷小运算法则,定理2.4.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,定理2.5.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的
2、无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求,解:,利用定理 2 可知,说明:y=0 是,的渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、极限的四则运算法则,则有,定理 3.若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)若又有,B0,则,说明:可推广到有限个函数相加、减、乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.设 n 次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说
3、明:若,不能直接用商的运算法则.,若,例3.求,解:x=1 时,分母=0,分子0,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x=3 时分母为 0!,例4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“约分”,x=9 时分母为 0!,例5.,“有理化”,例6.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“通分”,例7.求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般有如下结果：,为非负常数),(如P36 例8),(如P36 例9),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,裂项,例10,解,由夹逼定理得,机动 目录
4、 上页 下页 返回 结束,三、两个重要极限,注 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求,解:,例12.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:原式=,说明:计算中注意利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.求,解:令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且当,时，有,则,原式,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先证明：,2、单调有界原理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,命题 单调有界数列必有极限。,单调增加有上界（单调减少有下界）的数列必有极限。,几何解释:,设,证明数列,极限存在.,证:利用二项式公式,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大,
5、大,正,又,比较可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据命题可知数列,记此极限为 e,e为无理数,其值为,即,有极限.,原题 目录 上页 下页 返回 结束,又,重要极限,可以证明对于连续的自变量x，也有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:此极限也可写为,特点:(1+无穷小)的无穷大次方.该无穷小与无穷大恰好为倒数.则其极限为e.,再证明,证:当,时,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,则,从而有,故,说明:此极限也可写为,时,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15,解:,两个重要极限的一般形式：,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理.设,且,存在,则,证:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：只能对分子、分母或其部分乘积因子进行 等价无穷小替换.,常用等价无穷小:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例16.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,填空题(14),第七节 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P51 9(1，3，5，7，11，13，16,20);10；15（1，2，5）16（1，3，5，7）,
