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1、多面体：,由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。,食盐,明矾,石膏,多面体,正多面体,定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体,正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,问题1.图中有5个多面体,分别数出它们的顶点数V,面数F和棱数E,并填表:,4,4,6,8,6,12,6,8,12,9,8,15,9,9,16,规律:V+F-E=2,问题2.图中有三个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E,并填表。,5 5 8,这些图形符合前面找出的规律V+F-E=2吗?,12 12 24,7 8 12,比较问题1和
2、问题2中的图形，如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们的内部充气那么其中哪些多面体能够连续（不破裂）变形，最后其表面可变为一个球面？,像以上那样的连续变形中，表面能变为一个球面的多面体,叫简单多面体.,猜想,简单多面体的顶点数V，面数F的和与棱数E之间存在的规律？,V+F-E=2,欧拉公式,例1：若一凸三十二面体的頂点数是60，求它的棱数。,解：V=60,F=32代入 V+F-E=2，得：E=V+F-2=60+32-2=90該多面体的棱数是90。,例2.,一个简单多面体的各个面都是三角形,证明它的顶点数V和面数F有F=2V-4的关系.,分析:每个面都是三角形,有三条边,则F个
3、面共有3F条边,又每条边是两相邻面的公共边,即每两条边合为一条棱,所以E=,代入即得.,小结:,简单多面体V,F,E之间关系为:,E=V+F-2,(2)E=各面多边形边数之和的一半,(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半,数学英雄,欧拉，瑞士数学家。13岁就成为巴塞尔大学的学生，17岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕士。欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路。1726年，19岁的欧拉由于撰写了论桅杆配置的船舶问题而荣获巴黎科学院的资金。欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊人的记忆力！他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil）的史诗Aeneil
4、，能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成。,欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数有无穷多个对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究，从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。欧拉用a、b、c 表示三角形的三条边，用、表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指数函联结起来。,在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于学
5、生的学习，又有助于数学的发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用sin、cos 等表示三角函数，用 e 表示自然对数的底，用f(x)表示函数，用 表示求和，用 i表示虚数等。圆周率虽然不是欧拉首创，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把e、i 统一在一个令人叫绝的关系式中。欧拉在研究级数时引入欧拉常数，这是继、e 之后的又一个重要的数。,欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有19岁，而欧拉已48岁。拉格朗日与欧拉通信讨论等周问题，欧拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名。,1735年，欧拉着手解决一个天文学难题
6、计算慧星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成）。由于欧拉使用了自己发明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅28岁的欧拉右眼失明。但他仍然醉心于科学事业，忘我地工作。晚年欧拉的左眼又失明了，但他用口授、别人记录的方法坚持写作。他撰写了微积分原理，1768年，积分学原理第一卷在圣彼得堡出版。1770年第三卷出版。同年，他又口述写成代数学完整引论，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书。,1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。大火以后他立即投入到新
7、的创作之中。他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。欧拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上。,欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。甚至在他死后，彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。就科研成果方面来说，欧拉是数学史上或者说是自然科学史上首屈一指的。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！欧
8、拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。,有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度推崇欧拉。大数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，这是我们一切人的老师。”被誉为数学王子的高斯也说过：对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可以替代它。,例3、简单多面体的每
9、个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数及顶点数.,分析:关健是寻找V,F.E关系.事实上:设面数为F,顶点数为V,棱数为E,因为每个面都是五边形,所以共有5F条边,而每两条边合成一条棱,共有,条棱,所以有E=,另一方面:每一顶点处有三条边,共有3V条边,每两条边合成一条棱,所以E=,代入可求V=20,F=12,E=30.,解：假设一个简单多面体的棱数E=7，根据欧拉公式V+F-E=2，得V+F=7+2=9.因为多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情况：V=4，F=5，或V=5，F=4.但是，有4个顶点的多面体只有四面体，而四面体也只有4个面，实际中上述的两种
10、情况都不存在，因此没有棱数是7的简单多面体。,2）有没有棱数是7的简单多面体？说明理由,3）为什么只有5种正多面体？(阅读材料),正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,以上5种正多面体的展开图:,1）1996年的诺贝尔化学奖授予对发现 有重大贡献的三位科学家。是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种。计算 分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,欧拉公式的应用,多面体的顶点数V=60，,解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个。,面数F=x+y,棱数E=,根据欧拉公式可得：,另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即,由以上两方程解出x=12，y=20,答：C60分子中有12个五边形，20个六边形。,
