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1、7.2 正态分布,一、正态分布是最重要的连续概率分布,1、运用最广的正态概率分布,期末考试成绩的分布人类身高的分布人类体重的分布人类的智商分布产品的质量分布相貌的分布。,2、正态分布函数的性质,1）图形是关于 x=对称钟形曲线，且峰值在x=处。2）均值 和标准差 一旦确定，分布的具体形式也惟一确定。不同参数的正态分布，构成一个完整的“正态分布族”。均 值决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的陡峭程度。3）当X 的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个 尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交4）正态随机变量在特定区间上的取值概率P 由正态曲线下的 面积(pdf的积分)给出，而且其曲线
2、下的总面积等于1。,最大值f（x）=？,图示：参数 和的变化 对正态曲线的影响,3、正态分布的定义：,pdf函数是通过对频率（概率）值的缩减而获得的。,4、正态分布变换成标准正态分布,1）任何一个一般的正态分布X，可通过下面的线性变 换转化为标准正态分布Z，E(Z)=0，D（Z）=1。,=1,Z,标准正态分布,特定区域内的概率p永远不会变。,标准化例子：P(5 X 6.2),x,=5,=10,一般正态分布,6.2,请查表求：P(5X6.2)=?,标准化例子:P(2.9 X 7.1),一般正态分布,4、正态分布变换成标准正态分布的两大函数转换,标准正态分布的概率密度函数和概率分布函数,【例】计算
3、以下概率(1)XN(50,102)，求 和(2)ZN(0,1)，求 和,二、正态分布的概率计算,解题思路：1、画出正态分布概率图（数形结合）2、用dfpdf求解概率p 3、标准化成标准正态分布，查表求解。,b,x,f(x),a,正态分布经验法则：用标准差度量取值的概率,x,f(x),u,正负1个标准差：68%,正负2个标准差：95%,正负3个标准差：99%,第1步：在Excel表格界面中，点击“f(x)”(插入函数)命令第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】中点击【NORMDIST】，然后单击【确定】第3步：在【X】后输入正态分布函数计算的区间点(即x值)在【Mean】后输入正
4、态分布的均值 在【Standard_dev】后输入正态分布的标准差 在【Cumulative】后输入1(或TRUE)表示计算事件出 现次数小于或等于指定数值的累概率 单击【确定】,计算机运用：用Excel正态分布的计算概率,计算标准正态分布的概率和反求Z值,第1步：在Excel表格界面中，点击“f（x）”(插入函数)命令第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】中点击【NORMSDIST】，单击【确定】第3步：在【Z】后输入Z的值。单击【确定】第1步：在Excel表格界面中，点击“f（x）”(插入函数)命令第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】中点击【NORMSIN
5、V】，然后单击【确定】第3步：在【Probability】后输入给定的概率值。单击【确定】,计算概率,计算z值,补：反求z值的练习题，数形结合。,【例1】设XN(0，1)，求以下概率：(1)P(X 2)；(3)P(-12)=1-P(X 2)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1X 3)=P(X 3)-P(X-1)=(3)-(-1)=(3)1-(1)=0.9987-(1-0.8413)=0.8354(4)P(|X|2)=P(-2 X|2)=(2)-(-2)=(2)-1-(2)=2(2)-1=0.9545,2、正态分布的练习,教材P155的练习,【例2】设XN(5，32)，求以下概率(1)
6、P(X 10)；(2)P(2X 10)解：(1),(2),【例3】用正态分布来解二项分布,某离散型随机变量X，若XB(100,0.2),试计算100次试验中恰好有15次成功的概率。,第4次作业,第11题正态分布练习题（P172）。第13题。第16题指数分布练习题（积分练习）。第17题指数分布练习题（积分练习）。,7.3 正态分布导出的3个分布,2 分布t 分布F 分布,一、正态分布导出：c2-分布,历史：由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson)分别于1875年和1900年推导出来。,结论1：若随机变量X1,X2,Xn相互独立并分别服
7、从标准正态分布，则随机变量Y服从自由度为n的X2(卡方)分布。Y=X12+X22+Xn2,方差的分布将用到c2-分布：概率分布图,c2-分布的由来,c 2,不同自由度的x2-分布,1）卡方分布的随机变量值（xi）始终为正。2）卡方分布的形状通常为不对称的正偏分布。但也取决于自由度n的大小，pdf 随着自由度的增大逐渐趋于对称。3）卡方分布期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)。4）卡方分布的可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布。,2、c2-分布的特点,3、c2-分布概率分布的计算,c 2,a的取值,例子1）：计算自由
8、度为8，随机变量x2值大于10的概率？,例子2）：计算自由度为10，随机变量x2分布右尾概率为0.1的临界值？,CHIDIST(x,df)=0.265,CHIINV(p,df)=15.99,用Excel计算c2分布的概率,利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算c2分布右单尾的概率值语法：CHIDIST(x,degrees_freedom)，其中df为自由度，x,是随机变量的取值利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度时相应的反函数值 语法：CHIINV(probability,degrees_freedom),用Excel计算c2 分布的概率,二、正态分布导出：t-
9、分布,历史：William Gosset提出的，由于其经常用“student”为笔名发表文章，其所提的此分布也称为学生分布(students t)。,t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,t分布的来历：,x,t 分布与标准正态分布的比较,t 分布,标准正态分布,0,2、用Excel计算t分布的概率和临界值,利用Excel中的【TDIST】统计函数，可以计算给定值和自由度时分布的概率值语法：TDIST(x,degrees_freedom,tails)利用【TINV】函数则可以计算给定概率
10、和自由度时的相应 语法：TINV(probability,degrees_freedom),用Excel计算t分布的临界值,计算机：t 分布的计算,x,t 分布,0,ta,a的值,例如：求自由度k=10，t值大于2的概率？,TDIST(2,10,1)=0.03669,TDIST(2,10,2)=0.073,TDIST(x,df,tails)=？,TINV(p,df)=Value（two-tails）,3、查表：t 分布的计算,T分布表中给出了不同自由度k及不同概率值a(0a1)的ta值。,x,t 分布,0,ta,a的值,例如：求k=10，a=0.05时t分布的随机变量值？,t0.05（10）=
11、1.812,会查书后的t分布概率分布表,为纪念统计学家费希尔()以其姓氏的第一个字母来命名。设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1（分子）和n2（分母）的F分布，记为,三、正态分布导出：F-分布,概率分布图形：不同自由度的F 分布,F-分布的由来,2、F-分布的计算,F,(10,15),2.54,a=0.05,会查书后的t分布概率分布表,3、用Excel计算F分布的概率和临界值,利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算分布右单尾的概率值语法：FDIST(x,degrees_freedom
12、1,degrees_freedom2)利用【FINV】函数则可以计算给定单尾概率和自由度时的相应 语法：FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2),用Excel计算F分布的概率,计算1)：分子自由度为10，分子自由度为8，F值大于3的概率？,计算2)：分子自由度为10，分子自由度为8，F分布右尾概率为0.05时的F值？,用Excel计算F分布的概率,Excel 中的统计函数,BINOMDIST计算二项分布的概率POISSON计算泊松分布的概率HYPGEOMDIST计算超几何分布的概率NORMDIST计算正态分布的概率NORMINV计算正态分布的区间点(临界值)NORMSDIST 计算标准正态分布的概率NORMSINV计算标准正态分布的区间点(分位数)CHIDIST计算c2分布的右尾概率CHIINV计算给定c2分布的右尾概率的临界值FDIST 计算F分布的右尾概率FINV 计算给定F右尾概率的临界TDIST计算给定t值的分布概率TINV计算给定概率的t值,第8讲讲完了。谢谢大家！,
