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1、第四章 相似原理和量纲分析,工程研究方法及其特点数学分析法：微分方程（组）+定解条件求解优点：（1）理论完善（2）物理概念清晰（3）能揭示过程的物理本质（4）指出影响因素的主次关系 缺点：（1）对复杂工程问题难以描述（2）求解难度大,实验法 直接实验法：在原型实物上研究各物理量之间的关系（只适用于简单变量关系）优点：直接可靠 缺点：工作量 无普遍意义(只能用于与实验条件完全相同的现象中);某些情况难以进行(如高温、高压、大型设备),以相似理论为基础的模型试验法（常规试验程序：小中生产规模）优点：易于控制、调节、节省投资；试验参数少，工作量小；实验充实数学分析，同时数学分析指导实验。,为了实验流
2、场与真实流场具有一定的对应关系（相似性），实验中的各物理参数应该如何确定？模型实验中的各种测量值应该如何被换算为实物上的相应值？,如何科学地设计实验，正确有效地反映出相关物理参数之间的实质性联系。,目的,例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。,主要内容,4.1 流动的力学相似,4.2 动力相似准则,4.3 流动相似的条件,4.4 近似模型试验,4.5 量纲分析法,4.1 流动的力学相似,一、几何相似：,长度比例尺：,面积比例尺：,体积比例尺：,模型与原型对应线性长度比例相等（相似前提条件）。,二、运动相似（速度场相似）,速度比例尺：,时间比例尺：,模
3、型与原型流场中所有对应点上、对应时刻的流速方向相同，大小成同一比例（流动相似的表现）。,长度与速度比例尺确定后，所有运动学量比例尺就已确定：加速度比例尺：体积流量比例尺：运动粘度比例尺：角速度比例尺：,三、动力相似：,力比例尺：,上述四种力分别代表总压力、切向力、重力和惯性力。,密度比例尺：,模型与原型流场中所有对应点流体微团上受到的各种力方向相同，大小成同一比例（流动相似的主导因素）。,若以密度、尺寸、速度作为基本变量，可推得动力学比例尺：力比例尺：力矩（功、能）比例尺：压强(应力)比例尺：功率比例尺：动力粘度比例尺：,要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。,动力相
4、似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。,由力比例尺可得：,（牛顿数）,模型与原型的流场动力相似，则（牛顿相似准则）,作用力与惯性力之比,重力相似准则,（弗劳德数）,各单项力作用下的相似准则：,惯性力与重力之比,4.2 动力相似准则,（牛顿第二定律）,2.粘滞力相似准则,（雷诺数）,惯性力与粘滞力之比,3.压力相似准则,（欧拉数）,总压力与惯性力之比,欧拉数中的压强p也可用压差Dp来代替，即,对于波动或振荡的非定常流，其频率为f，谐时数为：,4.非定常性相似准则（由时间比例尺可得）对于非定常流的模型
5、试验，必须使模型与原型的流动随时间的变化相似。,（斯特劳哈尔数或谐时数）,当地加速度引起的惯性力之比,当地惯性力与迁移惯性力之比,5.弹性力相似准则 对于可压缩流的模型试验，要使流动相似，由压缩引起的弹性力场必须相似,（柯西数）,惯性力与弹性力之比,体积模量比例尺,（马赫数）,对于气体：,6.表面力相似准则,以上分析可知：物理现象中物理量不是单个起作用的，而是由其组成的准则起作用的微分方程式的解应是准则方程式。,（韦伯数）,表面张力比例尺,惯性力与张力的比值,同一类流动，为相同的微分方程组所描述。单值条件相似，即几何条件、边界条件、时间条件（非定常流）、物性条件（密度、粘性等）相似。同名相似准
6、则数相等。,4.3 流动相似的条件,几个概念：,单值条件中的各物理量称为定性量，如密度，特征长度，流速，粘度，重力加速度；,由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺数弗劳德数,包含被决定量的相似准则数称为非定性准则数，如压强 与流速 总是存在一定关系，那么欧拉数便是非定性准则数。,例4-1 试通过模型试验确定出现漩涡的最小油面深度。已知：，为了保证流动相似，模型输出管的内径、模型内流体的流量和运动粘度等于多少？试验测得。,解：油池最小油深,试验条件：（几何相似）模型输出管内径,（重力场相似）弗劳德数相等,（粘性力相似）雷诺数相等,如果采用同一状态流体，与重力场相似矛盾，所以必须改变流体粘
7、度。,例4-2 两种密度和动力粘度相等的液体从几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为0.04409N/m，出口流束直径为7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴12m处破裂成雾滴；另一液体的表面张力为0.07348N/m。求在流动相似条件下另一液体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离。,另一流束参数：,解：流体破裂是受粘性力和表面张力的共同作用，其流动相似的条件是雷诺数和韦伯数同时相等。,模化实验技术简介 试验计算过程：相似原理指导下的模型试验 准则方程（已定准测与待定准则之间的函数关系）已知量已定准则 待定准则待定量,4.4 近似模型试验,工程上常常忽略次要因素，进行近似模型试验。自
8、模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似的作用，这种状态称为自模化状态。,重力场相似（弗劳德数相等）粘性力场相似（雷诺数相等）,要同时满足（常常难以办到）,关于自模化区实验 设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。,例：管道湍流进入平方阻力区，沿程损失系数与Re无关；,尼古拉兹曲线,圆柱绕流,例：圆柱绕流Re=1033105，CD几乎不随Re变化。,例4-3 弧形闸门如图，已知水深6m，在1/20的模型上试验，模型闸前水深应为多少？若
9、测得模型闸出口平均流速为2m/s，流量30 l/s，作用在闸门上的力92N，闸门轴力矩110N.m，试求原型闸门的对应参数。,解：模型闸前水深,流动相似，弗劳德数相等：,例4-4 用空气模拟试验求取水管参数，已知：流动进入自模化区，取 测得：已知：,解：原型及模型中流动速度：,气流马赫数：,（可不考虑气体压缩性的影响）,比例系数：,原型参数：,决定性相似准数的定义：对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否满足了主要动力相似。只要满足了决定性相似准数相等后，就满足了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。（注意：对于Eu准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时，Eu准数同时可以满足）,
10、例4-5 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？,vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s,解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取Re作为决定性相似准数，,即：,再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系，,这里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=2/3，,那么，kv=1/kl=3/2,最后得到风洞实验段内
11、的气流速度应该是,解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数k=1，那么力比例系数 kF=k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N,例4-6 在上例中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为1000N，问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？,4.5 量纲分析法（因次分析法）,量纲：物理量单位的种类基本量纲：基本物理量量纲，如：时间T、长度L、质量M
12、导出量纲：由物理定义导出，由基本量纲组成，如：速度LT-1 加速度LT-2力MLT-2压强ML-1T-2准则方程：用相似准则数表示的物理方程。常用的量纲分析法：瑞利法和定理,量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。,SI制中的基本量纲：,一、物理量的量纲,导出量纲：用基本量纲的幂次表示。,dim m=M,dim l=L,dim t=T,注：为温度量纲,比焓，比内能,比熵,导热系数,比定压（容）热容,
13、表面张力,功率,能量，功，热,动量，动量矩,惯性矩，惯性积,同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲一致性。,二、量纲一致性原理,常数（沿流线）,单位体积流体伯努利方程,例4-7：不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道的压强降Dp，与管道长度 l、内径d、绝对粗糙度e、平均流速v、流体密度r 和动力粘度m有关。用瑞利法导出压强降的表达式。,三、瑞利法：,用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量，即，根据量纲一致性原则求出待定指数，进而确定。,解：根据瑞利法可以写出用基本量纲表示上方程的物理量，则有,管道长径比,管道相对粗糙度
14、,相似准则数,根据量纲一致性原则，有,三个方程六个指数（选a1,a3,a6为待定指数）,沿程损失系数，由实验确定,单位重力流体沿程能量损失,沿管道的压强降,这就是著名的达西-魏斯巴赫公式（下一章讲解）,四、定理,量纲分析的布金汉定理(定理),若某物理问题有n个变量，满足函数关系,其中涉及m个独立的基本量纲，则n个变量可组成nm个独立的无量纲数,这些无量纲数存在函数关系,1、几何相似要求有一个长度量纲,2、运动相似要求有一个速度量纲,3、加上一个包含质量的量纲,不可压流动有三个独立的基本量纲（有多种选择）：,x1=f(x 2，x 3,x n),提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,187
15、7),奠定理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914):,p定理,方 法,充要条件,n个物理量,m个独立基本量,n-m个导出量,选m个独立基本量,一般步骤：以圆柱绕流为例,第1步、列举所有相关的物理量。,第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或 称为重复量，取3个）。,第3步、将其余的物理量作为导出量，分别与基本量 的幂次式组成p表达式。,选、v、d,导出量即、,第4步、用量纲幂次式求解每个p表达式中的指数，组成p数。,解得 a1=-1,b1=-2,c1=-2,（CD 称为阻力系数）,解得:a 2=-1,b 2=-1,c 2=-1,第5步、用p数组成新的方程。,p1=f(p
16、2),（Re为雷诺数）,例4-7：不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，用定理导出压强降的表达式。,解：物理方程,7个物理量涉及3个基本量纲，可以组成（7-3=）4个无量纲量。选取 为基本量。,用基本量纲表示 中各物理量，得：,由量纲一致性：,解得：,用基本量纲表示 中各物理量，得：,由量纲一致性：,解得：,用基本量纲表示 中各物理量，得：,由量纲一致性：,解得：,与 具有相同量纲结构：,准则方程可写为：,量纲分析法求取准则数的特点：优点：方法简单，不必列出微分方程，只要知道影 响因素。缺点：不分析现象的物理本质，漏列因素将导致错误。,可见，结果与瑞利法完全一样，但该法推导时未出现待定指数选取
17、问题。,应用量纲分析法得到的物理方程是否符合客观规律，和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示。弥补量纲分析法的局限性，需要已有的理论分析和实验成果，要依靠研究者的经验和对流动现象的观察认识。可以说，量纲分析法是沟通流体力学理论和实验之间的桥梁。,例4-8 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体直径d、球体运动速度v、流体的密度和动力粘度有关，试用定理量纲分析法建立FD的公式结构。,选、v、d,解:第1步、列举所有相关的物理量:,第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量,第3步、将其余的物理量作为导出量，即 F D、分别与基本量
18、的幂次式组成p表达式,由上述三元一次方程组得：,因此,同理：,式中CD 为绕流阻力系数，Re是雷诺数,4列p数方程,量纲分析的优点,v,模型和原型的受力换算问题,在做模型实验时，往往很容易测得模型所受的升力和阻力，这就存在一个如何将由模型所受的力推得真实物体所受的力问题。,模型,原型,Re 模 Re 原,找到基本比例尺kl,kv,k之间的关系,更一般的思路：,I.通过模型实验先找出阻力系数与Re的关系,II.真实物体的阻力,Re 模1 Re 原1,Re 模2 Re 原2,Re 模3 Re 原3,CD f(Re),CD f(Re),.上述量纲分析方法的缺点是很难完全掌握影响因素，如果遗漏了重要影
19、响因素，那有关准则关系式的方程就不对了。,.很难给出准则数上的因次的物理意义，为什么是此数？而不是他数？如果条件变化了，比如气流的圆球阻力问题，圆球的数目不再是一个，仍可获得无因次关系式，但是因次却变化了。这如何去解释？,量纲分析方法的缺点,不可压缩流体在重力作用下从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。,三角堰泄流量,2选择基本量：、g、h,3列p表达式求解p数,1列举物理量。qV,，g，h，共5个,M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 2)b L c(L 3 T 1),解得：a=0,b=-1/2,c=-5/2,4列p数方程,p1=f(p2),（弧度，无量纲）,或,(c),作业：4-7，4-9，4-10，4-14，4-15，4-16,
