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1、促进数学理解的有效路径,上外附属大境中学 赵玉梅 2012年7月3日,故事之一：石匠的目标,有个人经过一个建筑工地，问那里的建筑工人们在做什么？三个工人有三个不同的回答。第一个工人回答：我正在砌一堵墙。第二个工人回答：我正在盖一座大楼。第三个工人回答：我正在建造一座城市。十年以后，第一个工人还在砌墙，第二个工人成了建筑工地的管理者，第三个工人则成了这个城市的领导者。心灵启示：思想有多远，我们就能走多远。,故事之二：笨鸟,在一间无人居住的房子的窗户外，一只不知名的鸟总是每日准时光顾，它站在窗台上，不停地用头撞击玻璃，然后总被撞得落回窗台，但它坚持不懈，每日总要撞十来分钟，尔后又跌回窗台，随即离开
2、。人们好奇心大发，纷纷猜测它大概是为了进那间房；但是就在这鸟儿站立的窗台旁边，另外一扇窗户是打开的，于是得出结论：这是只大笨鸟。,故事之二：笨鸟,直到有一天，好事者带来望远镜，一切才真相大白：窗玻璃上粘满了小飞萤的尸体，鸟儿吃得不亦乐乎。心灵启示：人们总喜欢将自己的思维方式强加于别人，而且自以为是。不要以为我们看不见的东西就不存在。我们对学习的理解何尝不如此？,何谓理解,辞海对理解的定义是“了解、领会”。现代汉语词典的解释是“懂，了解”维基百科自由的百科全书理解（Understanding），又称为领会、了解、懂得、思维作用（intellection），是指一种心理过程，与诸如人、情形或讯息之
3、类的某种抽象的或有形的对象相关，籍此一个人能够对其加以思考，并且运用概念对该对象加以适当的处理。理解乃是概念表达（又称为概念化）的界线。,互动百科 理解就是因每个人的大脑对事物分析决定的。一种对事物本质的认识，就是通常所说的知其然，又知其所以然。一般也称了解或领会。理解与概念和问题都有密切关系，有时是互相重叠的。行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程 理解是一种多维度的、复杂的东西。,数学理解,数学理解的界定Hi
4、ebert 和Carpenter认为：“一个数学的概念或方法或事实被理解了，如果它成为个人内部网络的一个部分”李士锜认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了”,数学理解的本质,（1）对数学概念、规则或方法的理解，指个体建立了关于这些观念的内部网络（2）数学理解的水平具有层次性，个体的差异往往表现为理解水平的差异（3）数学理解是一个动态过程，是认知结构的建构和知识意义的建构过程,数学理解的意义,从理论研究的角度看，理解与数学理解的研究意义体现在它的广阔包容性和相对独立性 从个体发展的角度看，知识的理解
5、有助于完善个体大脑内部的知识结构网络，从而推动记忆，进而又更易于同化与理解新知识、新信息，形成一个良性学习过程。同时，知识只有被深刻理解了，才具有迁移与应用的活性，这种迁移能力对个体未来发展是十分重要的。,数学理解的意义,从社会需求的角度看，信息化社会和知识经济社会所需要的是那种能不断学习新知识、新技能，能应用自己的已有知识去解决新问题的创新人才。沃特海梅尔的研究:让两组学生对平行四边行面积公式分别展开理解法学习和死记法学习。,数学理解的层次,正向理解 变式理解 反省理解,促进学生数学理解的路径,对数学概念的理解对数学公式的理解 对数学定理的理解 对数学问题的理解,对数学概念的理解,学习一个概
6、念取决于对它的理解，而理解的含义是对概念本质的把握。下面从5个例子看概念理解,数系的扩充,用图形表示包含关系：,举例1：揭示概念的背景在新旧联系中理解复数,知识引入,引入一个新数：,现在我们就引入这样一个数 i，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.,全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.,卡盟 卡盟,Microsoft Office PowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示
7、，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等,复数的代数形式：,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,复数a+bi,复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,思考？,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,举例2：要理解概念的实质对频率与概率的理解,随机事件A出现的概率等于
8、事件A所包含的基本事件数除以试验中所有的基本事件数 对于随机事件E，如果在次试验中出现了次（），那么 称为事件E出现的频数，称为事件E出现的频率。,挖掘定义的内涵,（1）“频率的稳定值就是概率的估计值”吗？（2）“随着试验次数的增加，频率就越来越接近于 概率”吗？（3）“用频率估计概率，一定要大量重复试验”吗？（4）“必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率为0等价，随机事件的概率大于0而小于1”吗？,频率与概率,频率是随机的概率是一个客观存在的常数,举例3：对抽象概念的理解要层层深入“曲线与方程”概念的理解,一般地，如果曲线C和方程之间有以下两个关系：曲线C上点的坐标都是方程 解；以方程 的
9、解为坐标的点都是曲线C上的点，此时，把方程叫做曲线C的方程（the equation of a curve C），曲线C叫做方程的曲线。,曲线与方程,1对曲线与方程概念本质的第一层认识2对曲线与方程概念本质的第二层认识3对曲线与方程概念本质的第三层认识4.强化对“曲线的方程与方程的曲线”两个概念的理解,曲线与方程概念理解,练习1（1）到两坐标轴距离相等的的点的轨迹的方程是 吗？为什么？（2）以y轴为对称轴的等腰三角形的底边的方程是x=0吗？为什么？,练习2(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：,作下列方程所表示的图形：,举例4：预设好问题串，深化理解核心概念函数概念的理解,问题1：下列解析
10、式能表示函数吗?(1)(2)(3),问题2：下列图像能作为函数图像的是那些？,预设好问题串，深化理解核心概念函数概念的理解,问题3：函数都有解析式吗？问题4：函数都能画出图像吗？,函数的表示方法,1 主要方法：解析法（公式法）、列表法和图象法。2 可用“特殊方法”来表示的函数。,（1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。,例如,，（符号函数）,（借助于Sgnx可表示,即,）。,（2)符号函数 例如（3)取整函数,（4）用语言叙述的函数。（注意；以下函数不是分段函数）,例）,（取整函数）,（irichlet）,（Riemman函数）,）,）,举例5：巧设问题，适时追问，展示概念的形成
11、过程对三角比定义的理解,第一步：引入问题：任意画一个锐角，能否根据锐角三角比的定义，借助三角板求出的近似值？追问1：有更好的构造法能使计算更简便吗？追问2：哪条边画成单位长方便呢？追问3：还有其它三角比吗？有几个？追问4：中角 有限制范围吗？,第二步：从锐角到任意角的推广,追问1：引进直角坐标系的作用？追问2：能否使定义的形式比较简单？追问3：通过类比，能否借助坐标来定义任意角的正弦值呢？追问4：类似地，在直角坐标系中，其他的三角比又该如何定义呢？,第三步：对概念获得的“精致”过程，也是思维深刻性和批判性的发展要求,展示概念背景，培养思维的主动性创设求知情境，培养思维的敏捷性精确表述概念，培养
12、思维的准确性解剖新概念，培养思维的缜密性分析错解成因，培养思维的批判性,对数学公式的理解注重三用，即正着用、变着用、逆着用,正用：就是指公式左边符合两项和两项差的乘积条件就可直接应用，得出简洁的结果变用：是指将暂时不能直接利用公式的变形后再利用公式例如：逆用：是指将公式的条件和结论互换后的利用公式是一个恒等式（在一定条件下），左右两边互换后仍然成立平方差公式：,对数学公式的理解平方差公式,1、归纳2、应用3、深化,举例：两角和与差的正弦、余弦和正切,对数学公式的理解体会公式的内在联系,，,逆用公式：化简下列各式,对数学定理的理解,正向理解：正确区分定理的条件和结论，并能直接利用数学定理 变式理
13、解：能直接创造定理成立的条件来利用定理解决问题反省理解：能够解决条件开放或结论开放的开放题，提高学生的反省理解,对数学问题的理解,（1）设计问题有梯度，循序渐进，层层深入课例1与圆锥曲线定义有关的轨迹问题,执教：高二(1)班2012424,与圆锥曲线定义有关的轨迹问题的探求,复习,1、若F(2,0)且|MF|=1，则点M的轨迹是什么？2、若MAB的一边AB的长为6，周长为16，则顶点M的轨迹是什么？3、若线段AB的长为6，M为AB外一点，且|MA|-|MB|=4，则点M的轨迹是什么？4、若点F(1,0)，直线l：x=-1，则过点F且与直线l相切的圆的圆心的轨迹是什么？,探求,问题一：已知动圆P
14、与圆和圆 都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.,P,y,x,O,C1,C2,问题一：已知动圆P与圆和圆 都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.,P,（1）在问题一中，若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹方程是什么？,拓展,P,（2）在问题一中，若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹方程是什么？,P,（3）在问题一中，若把圆C1的半径改为1，那么动圆圆心P的轨迹又是什么？,（4）上述的结论是否具有一般性？,探求,问题二：F1、F2是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，点P是椭圆上不在长轴上的任意一点，从右焦点F2引F1 PF2的外角平分线的垂线，求垂足M的轨迹方程.,y,x,
15、O,F1,F2,P,M,Q,问题二：F1、F2是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，点P是椭圆上不在长轴上的任意一点，从右焦点F2引F1 PF2的外角平分线的垂线，求垂足M的轨迹方程.,练习,练习1：已知F1、F2是双曲线 的两个焦点，O是双曲线的中心，点P是双曲线上不在实轴上的任意一点，从任一焦点引F1PF2的角平分线的垂线，求垂足M的轨迹方程.,y,x,O,F1,F2,P,M,Q,练习2：已知一个椭圆过点A（-7,0）、B（7,0），一焦点坐标为C（2,-12），求另一焦点P的轨迹方程.,练习,问题三：动点M（x，y）到定点F（3，0）的距离比它到 y 轴的距离大3，求动点M（x，y）的轨迹方
16、程.,探求,练习1：动点M（x，y）到定点F（3，0）的距离比它到 y 轴的距离大1，求动点M（x，y）的轨迹方程.,练习,练习2：动点M（x，y）到定点F（3，0）的距离比它到 y 轴的距离大5，求动点M（x，y）的轨迹方程.,对数学问题的理解,（2）引导学生学会提出问题，引发思考，促进理解课例2：运用数形结合思想方法研究方程根问题,讨论问题,1、讨论关于 的方程 在下列情况下实数解的个数.（1）在 上；（2）在 上；(3)在 上.,讨论问题,讨论问题,试一试,请你设计一个方程问题.（1）含有参数；（2）与判断方程解的个数有关.,研究问题（来自学生）,问题2（来自学生）,问题3（来自学生）,
17、研究问题,问题变式,问题拓展,提高学生数学理解水平的途径,1促进合作交流2变式练习 3指导学生进行自我提问 4进行分层教学 5引导学生进行积极反思,提高学生数学理解水平的途径,5引导学生进行积极反思（1）反思解题过程的合理性举例：若已知圆 关于直线 对称，求参数 的值,引导学生进行积极反思（2）反思解题思路的严密性（3）反思解题方法的灵活性（4）反思所解问题的统一性（5）反思所解问题的深刻性（6）反思所解问题的发散性,提高学生数学理解水平的途径,举例：对不等式分别求满足下列条件的实数的取值范围。不等式的解集为；不等式在 上有解；不等式在 上恒成立；不等式的解集总是区间 上的子集。,懒于思索，不愿意钻研和深入理解，自满或满足于微不足道的知识，都是智力贫乏的原因。这种贫乏通常用一个字来称呼，这就是“愚蠢”。高尔基当教师把每一个学生都理解为他是一个具有个人特点的、具有自己的志向、自己的智慧和性格结构的人的时候，这样的理解才能有助于教师去热爱儿童和尊重儿童。赞科夫,谢谢！,谢谢！,
