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1、一、矩阵的加法 二、矩阵的乘法 三、矩阵的转置,第二节 矩阵的运算及应用举例,一、矩阵的加法,1、定义,注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.,2、定义,3、,A与B的差,记作,规定,一、矩阵的加法,4、运算规律（设均是同型矩阵）,（1）,（2）结合律：,（5）,（6）,（3）分配率：,（4）,交换律：,1、引例设甲、乙两家公司生产、三种型,如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万,那么这两家公司的月利润(单位：万元)为多少?,号的计算机，月产量（单位：台）为,元台)为,二、矩阵的乘法,甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为,由例题可知矩阵、的元素之间有下列关系,34.1万元.,2
2、、定义,若,规定,其中,注：,1）条件,左矩阵的列数等于右矩阵的行数,2）方法,3）结果,左行右列左矩阵的行数为乘积,的行数，右矩阵的列数为乘积的列数.,例2：,求AB。,（1）设,求AB与BA。,（2）设,3、矩阵相乘的三大特征,1、无交换律,2、无消去律,3、若,例3,设,解,例3,设,解,3、矩阵相乘的三大特征,1、无交换律,2、无消去律,3、若,4、运算规律,（假定所有运算合法，是矩阵，）,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,注,不尽相同，亦不尽相同.,对于线性方程组,若记,其中 称为系数矩阵，,称为增广矩阵.,称为未知数向量，,称为常数项向量，,利用矩阵的乘法，此方程组可记作,作
3、业,1、定义,注：,1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.,2、只能是正整数.,（1）,（2）,（4）,（3）,（5）,三、矩阵的乘幂与多项式,称为矩阵A的幂。,注：,3、矩阵的多项式,可以像数x的多项式一样相乘或分解因式。,例6,例7,把矩阵 的行换成相应的列，得到的新矩阵，称为 的转置矩阵，记作.,例,1、定义,2、运算规律,（假定所有运算合法，是矩阵，）,（1）,（2）,（4）,（3）,特别,四、矩阵的转置,例5,已知,解,所以,而且,显然,例5,已知,对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.,如,3、对称矩阵,定义,设 为 阶方阵，若，则称 为对称矩阵.,由定义可知.,反对称矩阵的主要特点:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数.,如,4、反对称矩阵,定义,设 为 阶方阵，若，则称 为反对称矩阵.,由定义可知.,证明,例6,设A为对称矩阵，证明 也是对称阵。,是对称矩阵.,4、方阵乘幂的应用,有向图的邻接矩阵,
