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1、离散数学II,群、环、域、格与布尔代数李占山翠文楼413,课程安排,总学时：64讲课学时：64(1-16周,每周4学时)教材：离散数学孙吉贵等-高等教育出版社 参考教材:1离散数学-学习指导与习题解答孙吉贵等-高等教育出版社2代数结构与组合数学屈婉玲编著-北京大学出版社3 离散数学习题集(抽象代数分册)张立昂编著-北京大学出版社4应用近世代数胡冠章编著-清华大学出版社,课程重要性,离散思想考研课程计算机等级考试课程程序员考试课程抽象思维能力的培养,第一讲 内容提要,I.群论的出现及其创始者Galois、Abel,环论、域论与布尔代数II.近世代数的应用III.代数运算及其性质IV.代数系统,I
2、.群论的出现,群论是现代数学非常重要的分支,群论产生的开端非常平凡,但是群论的创立者却充满了传奇.这要从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知道，一个实系数的代数多项式在实数域中只要能分解成一些实系数的一次因式与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:,与一次方程的解得到原方程的解。为此，人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式.不过，由于一般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多，所以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。,二次方程的求根公式,直至16世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和塔尔塔里亚
3、(Tartalia)彼此独立发现。后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔(Cardano)在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言，1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在自己的著作大术(Ars Magna)一书中.在三次方程求解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉里(Ferrari)所解决，也发表在这部书中。,当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。但事情的发展似乎突然停了下来.虽然有很多数学家作出了努力,其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉(Eule
4、r),经过三个世纪之久仍然没有一个人能找出五次方程的求根公式.由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测:“这样的求根公式不存在.他预见到一般方程的可解性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题”。,群论的创始人伽罗华和阿贝尔,Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与Galois，他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上，各自作出了重要的贡献。Abel（N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代数学发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，1
5、3岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。他16岁自学数学名著，中学时被誉为“数学迷”。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。,阿贝尔,1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。1825年大学毕业后，获得奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。在柏林他结识了数学家克雷尔（)，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志，1826年出第一卷刊登了阿贝尔的7篇文章，其中就有关于一般五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也有他的很多文章。,阿贝尔,当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明
6、了这样一个定理：“如果方程的次数n5，并且系数被看成字母，那么任何一个由这些系数所组成的根式都不可能是该方程的解。原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成功，只因为这个问题就没有解。1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只好又返回柏林。,阿贝尔,克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不幸去世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。阿贝尔去世前不久，人们才
7、认识到他的价值。1828年，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群,阿贝尔,1824年,挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的看法.阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高斯处理二项式方程的具体方法去研究五次方程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但很快他发现其中存在的问题。,阿贝尔,这时，Abel敏感地猜想到一般五次方程不可
8、能用根式求解的结论。接着，Abel成功地证明了一条定理，今天称之为Abel定理。由此定理，Abel就证明了：“高于四次的一般方程不可能有一般形式的根式解”。这是数学史上的一项重要成就。,阿贝尔,但是虽然没有通用公式,有些特殊的五 次方程有求根公式,那么自然会问:如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式?对具有根式解的代数方程的特征问题，阿贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题.不幸的是，1829年死神夺去了年仅26岁的他，使他即将完成的光辉事业功亏一篑。,挪威天才数学家阿贝尔(Abel),伽罗华,在这一时期,碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题,而且最终取得了成功,他就是伽罗华(Galoi
9、s).伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊.只活了20岁，而他所留下的著作总共只有60页，但却以自己天才的创造，犹如划破黑夜长空的一颗彗星Galois的出现，开创了置换群论的研究.可是这位年轻人获得的非凡成果,在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认.伽罗华幼年受过良好教育，12岁上中学，1827年16岁就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。,伽罗华,不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很快就发现了伽罗华的数学才能，在他的指导下，伽罗华开始研究代数方程理论，1828年17岁时高中未毕业便有重大发现，写出了关于循环连分数特别是五次代数解法的重要论文。1829年18岁的他中学毕业参加声
10、望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时,伽罗华失败了,不得不进入较普通的师范学校.,伽罗华,1828年，他把自己所写的论文送交法国科学院审查，同年6月该科学院曾举行例会，由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著名数学家审查，但由于重视不够，原稿被柯西弄丢了。1829年他又写了一些关于方程方面的重要论文。同年7月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败。,伽罗华,怀着沮丧之情,伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文,这次是为竞争一项数学大奖.科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿 拿回家去审读,不料在写出评审报告前去世了,此文再也没有找到.,伽罗华,三失手稿,加之考巴黎高等工科大
11、学两度失败,伽罗华遂对科学界产生排斥情绪,变成了学生激进分子,被学校开除.担任私人辅导教师谋生,但他的数学研 究工作依然相当活跃.在仔细研究了Lagrange、Gauss、Abel、Cauchy等人著作的基础上写出了最著名的论文“关于方程可根式求解的条件”,并于1831年1月送交科学院.到3月,科学院方面仍杳无音讯,于是他写信给院长打听他的文章的下落,结果又如石沉大海.,伽罗华,他放弃了一切希望,参加了国民卫队.在那里和他在数学界一样运气不佳.他刚加入不久,卫队即遭控告阴谋造反而被解散.在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上,伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯,这一手势被同伙们解释成是要
12、国王的命；第2天他就被捕了.后来被判无罪,并于6月15日获释.,伽罗华,7月4日,他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运:因“无法理解”而遭拒绝.审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)，正如当年高斯没能理解年轻的阿贝尔的思想一样，由于伽罗华的理论太深刻以至于超出了他所在的那个时代，从而他的论文也未被当代大师所领悟，结果泊松的审查意见竟是“完全不能理解”，但是伽罗华的短暂生命使他已经没有时间再解释其深刻思想了.7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁,因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服.,伽罗华,在获释不久,他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情.这导致了他的早亡.这次恋爱事件不知何故引出了一
13、场决斗.1832年5月29日,决斗的前夜,伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier),先大致描述了他的数学理论,从而给数学界留下了唯一一份重要手稿，奠定了近世代数的理论基础，否则将使数学界乃至科学界蒙受重大损失。他对自己的研究成果不无自信地说“你可以公开地请求雅可比或高斯，请他们不是对这些东西的正确性，而是对它们的重要性发表意见，我期待着一定会有人认识到，解开这个迷对他们是有益的”。,伽罗华,在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击),伽罗华的胃部中弹,24小时后去世.享年不足21岁.他的信后来发表在1832年9月的“百科评论”上，但当时并未引起人们的重视。14年后，法国数
14、学家刘维尔从伽罗华的弟弟手中搜集到一些尚未公开发表的手稿，并把它发表在自己创办的数学杂志上，人们才开始对伽罗华的思想有所理解。伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群,他成了群论的创始人.,Born:25 Oct 1811 in Bourg La Reine(near Paris),FranceDied:31 May 1832 in Paris,France,环论,环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。环构造的研究可以说是从1908年魏得邦的著名论文有限维代数的构造开始的。20世纪二、三十年代，诺特(Noether)在环中引入了左、右理想的概念
15、建立了环的理想理论。二十世纪40年代，环的根理论迅速发展，特别是雅各布森所创造的一般环的根的概念，建立了本原环的理论。20世纪50年代，阿密苏和库洛什又创立了根的一般理论，环论已趋完善。,域 论,域也是代数学中最基本的概念之一，有着悠久的历史。早在19世纪初，伽罗华在研究方程的根式解时就有了域的概念。后来在戴德金和克罗内克关于代数数的著作里，虽然也出现过域的概念，不过那时还没有域的抽象概念。域的抽象概念始自韦伯，并在其影响下，德国数学家施泰尼茨（E.Steinitz)对抽象域进行了系统的研究。1910年他发表了论文域的代数理论，第一次对域的理论作了全面和系统地阐述，奠定了域论的基础。,布尔代数
16、,1835年，20岁的乔治布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学过初级数学的青年自学了艰深的天体力学和很抽象的分析力学。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书,是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德摩根。,布尔代数,摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为
17、朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的推理，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。,布尔代数,1854年，他发表了思维规律这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的
18、重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。20世纪初，罗素在数学原理中认为，纯数学是布尔在一部他称之为思维规律的著作中发现的。此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。,近世代数的应用,1项链问题：用n个颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链?2分子结构的计算问题：在化学上由某几种元素可合成多少种不同的物质问题，由此指导人们在自然界寻找或人工合成这些物质。3正多面体着色问题：一个正多面体的顶点和面用n种颜
19、色着色，问有多少种不同的方法？4图的构造与计算问题。,近世代数的应用,5开关电路的构造与计算问题。6数字通讯的可靠性问题。7几何做图问题。8代数方程根求解问题。随着代数学的发展，象上面例子中的情况一样，引入了许多运算系统，开始是单个地、独立地研究各个具体的运算系统。逐渐地发现，很多运算系统有相同的运算性质。我们可以抽象出来进行讨论。抽象地讨论而得的结果适用于各个具体的运算系统。这种抽象出共同本质后进行统一处理的方法是事半功倍的，因而是代数学研究以及数学研究中最常用的手段，代数学中抽象的代数运算很多，但最基本的、最重要的就是群、环和域。,III.代数运算及性质,定义设S是一个非空集合，称SS到S
20、的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f（a，b）=c，常记为a*b=c。S f,代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。类似地，可定义S的n元代数运算：Sn到S的映射。S中元素任意性使a，b可以是同一个元素。,例 子,例 自然数集N上的加法和乘法是N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算，因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自然数。此外。0虽然是自然数，但0不可以作除数。例 普通的加法、减法与乘法是整数集Z，有理数集Q，实数集R与复数集C上的二元代数运算，而除法不是这些集合上的二元
21、代数运算，为什么？,例 子,例 非零实数集R*上的乘法、除法是R*上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出0 例 设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，则集合的交运算、并运算是（S）上的二元代数运算。,III代数运算及性质,定义 设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意两个元素a，b，等式a*b=b*a都成立，则称运算“*”满足交换律。定义 设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，则称运算*满足结合律。,代数运算及性质,定义 设*是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如
22、果a*a=a则称a是关于运算*的幂等元。如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算“*”满足等幂律。定义 设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式a*（b+c）=（a*b）+（a*c），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，则称运算*对+满足分配律。,代数运算及性质,定义 设*和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于S中任意两个元素a，b，等式 a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，则称运算*和+满足吸收律。例 整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律
23、；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。,例 子,例 n阶实矩阵集合上的加法满足结合律，也满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。例 设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，则（S）上的交运算、并运算都满足结合律，交换律，对、对都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律。,补充定义,定义 设*是集合S上的二元代数运算，若存在elS（或er S)使得对S中任意元素a都有el*a=a(或a*er=a)，则称el（或er)是S中关于*运算的左（或右）单位元。若eS关于*运算既为左单位元又为右单位元，则称e为S中关于*运算的单位元。例6.1.8 整数集合Z中关于加
24、法的单位元是0，关于乘法的单位元是1。,补充定义,定义设*是集合S上的二元代数运算，若存在lS（或 r S)使得对S中任意元素a都有 l*a=l(或a*r=r)，则称 l（或 r)是S中关于*运算的左（或右）零元。若 S关于*运算既为左零元又为右零元，则称为S中关于*运算的零元。例 n阶（n2)实数矩阵集合Mn（R)中关于矩阵加法的单位元是n阶全0矩阵，没有零元，而关于矩阵乘法的单位元是n阶单位矩阵，零元是n阶全0矩阵。,补充定义,定义 设*是集合S上的二元代数运算，eS是S中关于*运算的单位元。对于a S若存在al S（或ar S)使得al*a=e(或a*ar=e)，则称al（或ar)是a关
25、于*运算的左（或右）逆元。若a-1S既是a关于*运算的左逆元又为右逆元，则称a-1是a关于*运算的逆元。例 n阶（n2)实数矩阵集合Mn（R)中任何矩阵M关于矩阵加法的逆元是-M;而对于乘法只有可逆矩阵M有逆元M-1。,代数运算及性质,可以证明集合S上关于二元运算*的单位元，零元以及若*满足结合律则S中任意元素a的逆元a-1是唯一的。定义 设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，（1）若 a*b=a*c，则b=c，（左消去律）（2）若 b*a=c*a，则b=c，（右消去律）就称*满足消去律。需要说明的是，有的书中限制a不是关于*运算的零元。,例 n(n2)阶实矩阵集合
26、上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律，例如，1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1=但 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1,例 子,IV.代数系统,定义 设S是一个非空集合，f1，fm是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1，fm看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（S，f1，fm）例 设Z为整数集，Z0为偶数集，N为自然数集，+、是数的加法和乘法，则（Z，+）、（Z，）、（Z，+，）都是代数系统；（Z0，+）、（Z0，）、（Z0，+，）都是代数系统；（N，+）、（N，）、（N，+，）都是代数系统。如果用、分别表示求最大公约数和最小公倍数的运算，那么（Z0，），（Z，
27、）也是代数系统。,代数,到目前位置我们已经对代数系统有了基本的了解，但实际当中存在许多代数系统更为复杂，非空的S可能为一个集合族，运算也不是一个集合上的运算而是在不同的集合之间的运算，即运算数与运算结果属于集合族中不同的集合，这样的代数系统叫做代数或分类代数。使用代数可以给出抽象数据类型的代数规范，从传统的数据结构到抽象数据结构的使用是软件系统设计的新发展。把一类数据和数据上的操作封装在一起就构成了一个抽象数据类型。,本节重点,对本节这些运算性质要熟悉其定义并会推断某些性质是否成立。后面各种群、环、域、格与布尔代数等代数系统的定义都是根据运算的性质来下的，因此对某代数系统进行判断（如判断它是否
28、为群），都必然归结到对运算性质的判断上，这是本部份最为重要内容之一。,第二讲 内容提要,I.半群的定义II.群的定义III.群的性质,I.半群,定义 设G是一个非空集合，若为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统（G，）为半群。若（G，）是半群，且G中存在对于运算的单位元e,则把（G，）称为独异点。例 设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则（S），）为半群，（S），）为半群。,例 设S是一个非空集合，规定S上的运算如下：ab=b，其中a，b是S中任意元素。显然为S上的二元代数运算。对S中任意三个元素a，b，c，有：（ab）c=bc=c，a（bc）=a
29、c=c，故，（ab）c=a（bc），满足结合律，因此，（S，）为半群。,例 子,例 子,例自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R关于普通加法或乘法都可以构成半群和独异点。正整数集Z+关于普通乘法构成半群和独异点，而关于加法只能构成半群。,II.群的定义,定义 设（G，）为半群，如果满足下面条件：(1)G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a=a1=a;(2)对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足aa-1=a-1a=1，则称（G，）为群。元素1称为G的单位元素，a-1称为a的逆元素。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。,群的条件,注意:群的定义实
30、际上包含5个条件G非空；运算封闭；运算满足结合律；运算在G中有单位元；G中任意元素对运算有逆。另外单位元1是群中唯一幂等元，且群中消去律恒成立。,例 子,例 设Z为整数集，+、是数的加法和乘法，则半群（Z，+）是群，称为整数加法群。因为存在元素0，适合对于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a，即0为单位元素；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个元素-a，满足a+（-a）=（-a）+a=0，即-a为a的逆元素。,例 子,例6.2.5 令G=e,a,b,c，*运算由表1给出。容易验证*运算满足结合律，e是G中的单位元，任意元素a的逆a-1=a。G关于*运算构成一个群，称为Klein四元群。,例6.
31、2.6 G=1,-1关于普通乘法运算构成一个群.例6.2.7 G=1,-1,i,-i关于普通乘法运算构成一个群,其中 i=(-1)1/2.例6.2.8 G=0,1,n-1关于模n的加法作成一个群,记为Zn.,III.群的性质-1,定理 设（G，）是一个群，则G中恰有一个元素1适合1a=a1=a，而且对于任意a恰有一个元素 a-1适合aa-1=a-1a=1。证明：若1和1都是单位元素，则1=11=1，故1=1。若b和c都有a-1的性质，则b=b 1=b（ac）=（ba）c=1c=c，故b=c。这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易见（a-1）-1=a（由逆元的唯一性直接得到）。
32、,群的性质-2,定理 群定义中的条件（1）和（2）可以减弱如下：（1）G中有一个元素左壹适合1a=a;（2）对于任意a，有一个元素左逆a-1适合a-1 a=1。证明：只要证明由（1）、（2）（和其余的条件联合）可以推出（1）和（2），即只需证明a1=a和aa-1=1。,证法一,证法一：先证a 1=a.由（1）知有1 1=1，由（2）知a-1a=1，用其部分代替上式中的1，得到（a-1a）1=a-1a，由（2）知a-1有逆令其为b，并用b 左乘上式两端得到b（a-1a）1=b(a-1a),由于（G，）是半群，运算满足结合律，得到a 1=a。现在证a a-1=1.由（1）知a 1有左1使1 a 1
33、=a 1，用a-1a代替等式左端的1得到（a-1a）a-1=a 1，由（2）知a-1有左逆令其为b，并用b 左乘上式两端得到b（a-1a）a-1=b a-1，得到a a-1=1。,证法二,证法二：先证a 1=a.由（1）知有1 1=1，由（2）知a-1a=1，用其部分代替上式中的1，得到（a-1a）1=a-1a，由（2）知a-1有逆令其为b，并用b 左乘上式两端得到b（a-1a）1=b(a-1a),由于（G，）是半群，运算满足结合律，得到a 1=a。现在证a a-1=1.由（2）知a-1有逆令其为b，于是b a-1=1，用a 右乘等式两端得到b a-1 a=1 a，故b=a，即a a-1=1。
34、证毕,证法三,证法三先证aa-1=1。因为（a-1a）a-1=1a-1=a-1，故（a-1a）a-1=a-1。由（2），a-1也应该有一个左逆b适合ba-1=1。于是，一方面有：b（a-1a）a-1）=ba-1=l，另一方面有：b（a-1a）a-1）=（ba-1）（aa-1）=1（aa-1）=aa-1，因此，aa-1=1。再证a1=a。事实上，a1=a（a-1a）=（aa-1）a=1a=a。自然，把（1），（2）中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。,群的性质-3,定理 群定义中的条件（1）和（2）等于下列可除条件：对于任意a，b，有使 a=b，又有y使ay=b。证明：分析，首先我们
35、应该清楚(G,)是一个半群这个前提，其次要清楚x和y是G中的元素，最后要清楚定义中的（1）和（2）两个条件是在承认(G,)是一个半群基础上等价于可除条件的，即它们能够互相推出，因此这是一个充分必要条件，需要证明充分性和必要性。为此，需要证明必要性，即在任一群中可除条件成立。因为，取=ba-1，y=a-1b，即得a=b，ay=b，故，由（1）和（2）可以推出可除条件成立。,证 明,充分性，要证明由可除条件也可以推出（1），（2），为此首先证明由可除条件推出（1），（2），进而可以推出（1），（2）。事实上，取任意cG，命e为适合c=c的，则ec=c。今对于任意a，有y使cy=a，故ea=e（cy
36、）=（ec）y=cy=a，即（1）成立。至于（2），只要令a-1为适合a=e的，则a-1a=e。,群的性质-4,定理 设G是一个群，在一个乘积a1an中可以任意加括号而求其值。证明：要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积（a1a2）a3）an-1）an（1）（1）式对于n=1，2不成问题；对于n=3，由结合律也不成问题。,证 明,现在对n用归纳法，假定对少于n个因子的乘积（1）式成立，试证对n个因子的乘积（1）式也成立。设有由a1an任意加括号而得到的乘积A，求证A等于（1）式。设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘：A=（B）（C）今C的因子个数小于n，故由
37、归纳假设，C等于按次序自左而右加括号所得的乘积（D）an。由结合律，A=（B）（C）=（B）（D）an）=（B）（D）an。,证 明,但（B）（D）的因子个数小于n，故由归纳假设，（B）（D）等于按次序由左而右加括号所得的乘积（B）（D）=（a1a2）a3）an-2）an-1因而A=（B）（D）an=（a1a2）a3）an-2）an-1）an即A等于（1）式。,群的性质-5,n个a连乘所得的积称为a的n次方，记为an。规定:a0=1，a-n=（an）-1。对于任意整数m，n，下面定律成立第一指数律：aman=am+n，第二指数律：（am）n=amn但一般群中第三指数律(ab)n=an bn不成
38、立。对群中任意元素a,b有(ab)-=b-a-.,证 明,证明：要证明(ab)-=b-a-，只要证明b-a-是ab的逆元即可。事实上(b-a-)ab=b-(a-a)b=b-1b=b-b=1，且(ab)(b-a-)=a(bb-)a-=a1a-=aa-=1，因此b-a-是ab的逆元。即(ab)-=b-a-。今后，如没有特殊要求，我们可直接引用此性质证明其他问题。,群的性质-6,定义 若群（G，）的运算适合交换律，则称（G，）为Abel群或交换群。前面介绍的、7、8中的群都是有限Abel群，下面是一些其他Abel群例 容易看出(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)都是无限Abel群.例 还有
39、(Q*,.),(R*,.),(C*,.)也是无限交换群.例 元素为实数或复数的 n阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法组成群,都是非交换群,叫全线性群,记为GL(n,R),或GL(n,C).,定理 在一个Abel群（G，）中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。证明：考虑一个乘积a1an。设是1，n上的一个一对一变换，欲证 a（1）a（n）=a1an 对n用数学归纳法，n=1时定理显然成立。假定n-1时定理已真，证明n时定理亦真。,群的性质（Abel群中的性质）,设将a1an中各因子任意颠倒次序而得一式P=a（1）a（n）因子an必在P中某处出现，因而P可以写成 P=（P）an（P）P或P中可能
40、没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律，P=P（anP）=P（Pan）=（PP）an，,证明（续）,现在PP中只有n-1个元素a1，an-1，只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，PP=a1an-1。因此，P=（PP）an=a1an-1an，从而归纳法完成，定理得证。,证明（续）,群的性质（Abel群中的性质）,在Abel群中，第三指数律成立：(ab)m=ambm，m为任意整数。,群的性质（Abel群中的性质）,加法群:(G,+)永远假定加法群是一个Abel群 乘法群 加法群 1 0：a+0=a a-1-a：a+（-a）=0 an na加法群中三个指数定律：(m+n)a=ma+na,m(a+b)=ma+mb,m(na)=(mn)a,本节重点,群的性质判断一个代数系统是否为群Abel群的性质群性质的运用,
