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1、,几何与代数,主讲:关秀翠,东南大学数学系,2010年国家级精品课程,假期休闲思考题,你能在15分钟内从下图找到多少个等边三角形？最多有21个哦，找找看！,2.你又能从上图找到几个正六边形呢？只有2个，你一定会找到的！相信自己！,3.你能从下图找到多少个图2？共有3个！,4.你又能从上图找到几个图3呢？(我找到了6个，你能帮我找到更多吗？)5.你又能从上图找到几个图4呢？(我找到了12个，你能帮我找到更多吗？),图2,图3,图4,假期休闲思考题,假期休闲思考题,你能在15分钟内从下图找到多少个等边三角形？最多有21个哦，找找看！,假期休闲思考题,2.你又能从上图找到几个正六边形呢？只有2个，你
2、一定会找到的！相信自己！,3.你能从下图找到多少个图2？共有3个！,图2,4.你又能从上图找到几个图3呢？(我找到了6个),图3,5.你又能从上图找到几个图4呢？(我找到了12个),图4,教学内容和学时分配,第二章 矩 阵,矩阵的基本概念,一.矩阵与向量,二.几种特殊的方阵,一.矩阵的线性运算,三.矩阵的转置,2.1 矩阵的代数运算,二.矩阵的乘法,Amn=(aij)mn,1.三角形矩阵,2.对角矩阵,=diag(1,2,n),3.数量矩阵,4.单位矩阵,En=(ij),=(ij),=(i ij),5.行阶梯矩阵,6.行简化阶梯阵,主元全为1,主列为单位列向量.,0行最下方;主元列标随行标递增
3、,1.加法,注1:A,B同型.,C=A+B=(aij+bij)mn,注2:负矩阵 A=(aij)mn,注3:减法：,2.数乘,kA=(kaij)mn=,向量:kl=(kailbi),(A,B是同型矩阵),kA lB=(kaij lbij)mn,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,2.1 矩阵的代数运算,一.矩阵的线性运算,A B=A+(B),3.性质,设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则,(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=k
4、A+kB.,(9)kA=0 k=0 或 A=O.,(10)A+X=B X=B A.,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,20200+50100+30150+25180,18000,二.矩阵的乘法,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,C=AB,18150,16750,10480,10240,9680,例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市直达j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为,bij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.,从 i 市经一次中转到达 j 市航线的条数=?,=A A,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,二.矩阵的乘法,第二章 矩阵,2.1
5、矩阵的代数运算,1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是 C=AB=(cij)mn=(Ai*B*j)=,其中,1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是 C=AB=(cij)mn=(Ai*B*j)=,其中,二.矩阵的乘法,注1:时才有意义，且.,(1)(kA)B=k(AB),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(AB)C=A(BC).,注2:性质,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,a11 a12 a13a21 a22 a23,A=,b11 b12 b21 b22b31 b32,B=,c11 c12 c21 c22,C=,
6、.,可知，(AB)C和A(BC)是同型的.先比较(AB)C和A(BC)的第一行第一列的元素.,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,(3)(AB)C=A(BC).,a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32,AB=,BC=,b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 b21c11+b22c21 b21c12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22,a11 a12 a13a21 a22 a23,A=,(AB)C11=(a11b11+a
7、12b21+a13b31)c11+(a11b12+a12b22+a13b32)c21,c11 c12 c21 c22,C=,A(BC)11=a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c21)+a13(b31c11+b32c21),a11b11c11+a12b21c11+a13b31c11+a11b12c21+a12b22c21+a13b32c21,=,=,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,(3)(AB)C=A(BC).,(AB)C11=A(BC)11,(AB)C11=(a11b11+a12b21+a13b31)c11+(a11b12+a12b22+a13b32)c2
8、1,A(BC)11=a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c21)+a13(b31c11+b32c21),a11b11c11+a12b21c11+a13b31c11+a11b12c21+a12b22c21+a13b32c21,=,=,()c11,()c21,+,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,(3)(AB)C=A(BC).,(AB)C11=A(BC)11,(AB)C11=(a11b11+a12b21+a13b31)c11+(a11b12+a12b22+a13b32)c21,A(BC)11=a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c21
9、)+a13(b31c11+b32c21),a11b11c11+a12b21c11+a13b31c11+a11b12c21+a12b22c21+a13b32c21,=,=,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,(3)(AB)C=A(BC).,即 UC=AV.,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,(AB)C11=,=A(BC)11,(3)(AB)C=A(BC).,一般地,设A=(aij)ml,B=(bij)ls,C=(cij)sn,AB=U=(uij)ms,BC=V=(vij)ln,则(AB)C=UC与A(BC)=AV 都是mn矩阵,且(AB)C=UC的(i,j)元素是,它恰好是A(BC)=AV
10、的(i,j)元素.,可见(AB)C=A(BC).,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,结合律的妙用之一,(还有“妙用之二”喔!),第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,CB=？A=BC=？,A2009=？,结合律的妙用之一,(还有“妙用之二”喔!),A2009=,?,1,2,3,2,4,6,3,6,9,=11+22+33,=14.,A2009=(BC)(BC)(BC)(BC)(BC)(BC),=B(CB)(BC)(CB)(CB)C,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,=142008 BC,=142008A,BC CB,AB=(Ai*B*j)=,二.矩阵的乘法,注3:,注4:,不一定都有意义
11、,同型但不相等,当AB=BA时，称A,B可交换.,有意义但不同型,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,注5：对角矩阵的性质,=,=(i ij),(ti ij),=(i ti ij),=(ti ij),(i ij),=,t1 0 0 0 t2 0 0 0 tn,1 0 0 0 2 0 0 0 n,1t1 0 0 0 2t2 0 0 0 ntn,=,=(ti i ij),第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,注5：对角矩阵的性质,=,=,t1 0 0 0 t2 0 0 0 tn,1 0 0 0 2 0 0 0 n,1t1 0 0 0 2t2 0 0 0 ntn,=,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代
12、数运算,Em Amn=Amn=Amn En,(a Em)Amn=a Amn=Amn(a En),注6:方阵的正整数幂：,A2=AA,Ak+1=AkA=AAk,AkAl=Ak+l=AlAk,(Ak)l=Akl,(AB)k,Ak Bk,(A+B)2,A2+B2+2AB,只有AB=BA时等式成立,(AB)k=AB AB AB,(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+B2+AB+BA,(A+B)(AB)=A2B2AB+BA A2B2,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,Ak Bk,注意!,设,则,注意:(1)AB与BA是同阶方阵，但AB不等于BA.(2)虽然A,B都是非零矩阵,但是 AB=0.,例
13、4,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,设,求 AB 及 AC.,解,注意:虽然A不是零矩阵,而且AB=AC,但是B不等于C.这说明消去律不成立!,例5,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,注7:消去律一般不成立.,比如:,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,注意!,注意:(1)虽然A,B都是非零矩阵,但AB=0.(2)虽然A不是零矩阵,而且AB=AC,但是B不等于C.这说明消去律不成立!,注8：方阵的多项式,设A为一个方阵,f(x)为一个多项式,称之为方阵A的一个多项式.,f(x)=asxs+as1xs1+a1x+a0,f(A)=asAs+as1As1+a1A+a0E,例6：,第二章
14、矩阵,2.1 矩阵的代数运算,第二章 矩 阵,2.1 矩阵的代数运算,一.矩阵的线性运算,二.矩阵的乘法,三.矩阵的转置,kA lB=(kaij lbij)mn,AB=(Ai*B*j)=,矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行数列数,交换律一般不成立,=,消去律一般不成立,f(A)=asAs+as1As1+a1A+a0E,(A+B)2,A2+B2+2AB,三.矩阵的转置,1.设矩阵A=(aij)mn,则矩阵A的转置 为,2.性质：,(1)(AT)T=A,nm,(2)(A+B)T=AT+BT,(4)(AB)T=BTAT.,(3)(kA)T=kAT,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,穿脱原理,3.对
15、称矩阵,满足 AT=A.,A=(aij)mn为对称矩阵 m=n且aij=aji(i,j=1,2,n).,反对称矩阵A：,满足 AT=A.,A=(aij)mn为反对称矩阵 A为方阵且aij=aji(i,j=1,2,n).,比如：,为对称矩阵；,为反对称矩阵.,反对称矩阵对角线元素全为0,第二章 矩阵,2.1 矩阵的代数运算,第二章 矩 阵,2.1 矩阵的代数运算,一.矩阵的线性运算,二.矩阵的乘法,三.矩阵的转置,kA lB=(kaij lbij)mn,AB=(Ai*B*j)=,矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行数列数,交换律一般不成立,=,消去律一般不成立,f(A)=asAs+as1As1+a1A+a0E,(AB)T=BTAT,(A)填空题选择题：作为课下练习,(A)1(1-4),2(1-2)(B)3(1-6,10),4(1),5,6(1,3),7,8,9,(B)留作业,每周二交作业,更正：,预习：2.2节,6(1)计算,思考题：行列式与矩阵的区别,D=,=|A|B|,=(1)mn|A|B|,A,B为m,n阶矩阵,=,=,思考题：能否利用这些结果证明|AB|=|A|B|？(其中A,B为n阶矩阵)(可先考虑 n=2的情况),思考题二,第二章 矩阵,
