代数系统(离散数学).ppt

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1、离 散 数 学(II),古典代数与近世代数,古典代数的研究对象:方程 以方程根的计算与分布为其研究中心近世代数的研究对象:代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出,发展成了近世代数,古典代数的发展过程,一元一次方程 公元前1700年一元二次方程 公元前几世纪 巴比伦人一元三次方程 我国:在公元七世纪 一般的近似解法 唐朝数学家王孝通缉古算经 西方:16世纪 意大利数学家 卡丹公式,古典代数的发展过程,一元四次方程 Ferrari L 化为求一个三次方程和两个二次方程的根 一元五次方程 失败:Euler L(1707-1783)、Van de monde、Lagrange J L、Ruff

2、ini P、Gauss K F 19世纪 法国青年数学家 Galois:五次以上方程无根式解,Galois(18111832)-近世代数的创始人,Evariste Galois,近世代数的特点-抽象代数系统:群环域格布尔代数,离散数学II,第六章 群 与 环,6.1 代 数 系 统,代数运算的定义及其性质 代数系统的定义,二元代数运算 设S是一个非空集合,称SS到S的一个映射f为S的一个二元代数运算,即,对于S中任意两个元素a,b,通过f,唯一确定S中一个元素c:f(a,b)=c,常记为a*b=c。Note:代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性,不限于+,-,*,/,意义很广泛。类似地,可

3、定义S的n元代数运算:Sn到S的映射。,代数运算的定义,加法和乘法是自然数集N上的二元代数运 算;减法和除法不是N上的二元代数运算加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元 代数运算;除法不是Z上的二元代数运算乘法、除法是非零实数集R*上的二元代数 运算;加法和减法不是R*上的二元代数运算,代数运算的例子,矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。设S是一个非空集合,(S)是S的幂集,则、是(S)上的二元代数运算。、都是真值集合0,1上的二元代数运算。,代数运算的例子,设*是集合S上的二元代数运算,如果对于任意a,b S,a*b=b*a 都成立,则称运算*满足交换律。例.设Q为有理数集合,对任

4、意a,bQ,定义Q上的运算如下:a b=a+b-a b,则是Q上的二元代数运算,且满足交换律:ab=a+b-a b=b+a-b a=ba,代数运算的性质交换律,设*是集合S上的二元代数运算,如果对于任意a,b,c S,(a*b)*c=a*(b*c)都成立,则称运算*满足结合律。例.设A是一个非空集合,对任意a,b A,定义A上的运算如下:ab=b,则是A上的二元代数运算,且满足结合律:(ab)c=bc=c a(bc)=ac=c,代数运算的性质结合律,设*是集合S上的二元代数运算,a是S中的元素,如果a*a=a,则称a是关于运算*的幂等元。如果S中每个元素都是关于*的幂等元,则称运算*满足等幂律

5、。结论:若a是关于运算*的幂等元,则对于任意正整数n,an=a.,代数运算的性质等幂律,设*和+是集合S上的两个二元代数运算,如果对于任意a,b,c S,a*(b+c)=(a*b)+(a*c),(b+c)*a=(b*a)+(c*a)都成立,则称运算*对+满足分配律。(Note:*未必满足交换律,所以一个等式成立,另一个未必成立),代数运算的性质分配律,例.设A=,二元运算*,+定义如下:问分配律成立否?,证明:x+(y*z)=(x+y)*(x+z)证:当x=:x+(y*z)=;(x+y)*(x+z)=当x=:x+(y*z)=y*z;(x+y)*(x+z)=y*z,运算*对运算+不可分配 证:*

6、(+)=*=(*)+(*)=+=,设*和+是集合S上的两个二元代数运算,如果对于任意a,b S,a*(a+b)=a,a+(a*b)=a,都成立,则称运算*和+满足吸收律。例.定义自然数集合N上的运算*和+如下:对于任意a,bN,有 a*b=maxa,b,a+b=mina,b,则*和+是N上的二元代数运算,且满足吸收律 a*(a+b)=maxa,mina,b=a,a+(a*b)=mina,maxa,b=a.,代数运算的性质吸收律,设*是集合S上的二元代数运算,如果S中存在元素,使得对于S中任意元素a,都有a*=,*a=,则称是S上关于运算*的零元。设*是集合S上的二元代数运算,对于S中任意三个元

7、素a,b,c,其中a不等于零元,如果有(1)若 a*b=a*c,则b=c,(2)若 b*a=c*a,则b=c,就称*满足消去律。,代数运算的性质消去律,例.n阶实矩阵集合上的加法满足消去律,但乘法不满足消去律.因为 但,例.整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律,乘法对加法满足分配律,但加法对乘法不满足分配律;减法不满足结合律,也不满足交换律;它们都不满足等幂律,也不满足吸收律。例.n阶实矩阵集合上的加法满足结合律,也满足交换律;乘法满足结合律,但不满足交换律;它们都不满足等幂律,也不满足吸收律。,代数运算性质例,例.设(S)是非空集合S的幂集,则(S)上的交运算、并运算都满足结合律,交换

8、律,对、对都满足分配律,它们都满足等幂律,也满足吸收律,但、不满足消去律。,代数运算性质例,设S是一个非空集合,f1,fm是S 上的若干代数运算,把S及其运算f1,fm看成一个整体来看,叫做一个代数系统,记为(S,f1,fm),代数系统的定义,例.设S是一个非空集合,(S)是S的幂集,则(S),)为代数系统。例.设、是真值集合0,1上的合取与析取运算,则(0,1,)是代数系统。,代数系统的例,例.设Z为整数集,Z0为偶数集,N为自然数集,+、是数的加法和乘法,则(Z,+)、(Z,)、(Z,+,)、(Z0,+)、(Z0,)、(Z0,+,)、(N,+)、(N,)、(N,+,)都是代数系统。例.设、分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算,那么(Z,)、(Z0,)、(N,)都是代数系统。,代数系统的例,

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