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1、,1.6三角函数模型的简单应用,人教A版（必修4）,宁波市镇海中学 钟清,例一：根据图象建立解析式(研究温度随时间呈周期性变化的问题);例二：根据解析式作出图象(研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期)；例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型(研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题)；例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数 拟合，从而得到函数模型(研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题)。,目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。,三角函数模型的简单应用（1）,备注：三角函数模型三角函数关系简单应用学以致用，解决生活中的实际问题,教学目标
2、:1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来
3、建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题,函数模型的应用示例,2、心理、生理现象 情绪的波动 智力变化状况 血压变化状况 3、地理情景 气温变化规律 月圆与月缺 4、日常生活现象 涨潮与退潮 车轮转动 峰谷电,正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx,1、物理情景简单和谐运动星体的环绕运动,如果在宁波地区（纬度数约是北纬30o）的一幢高为ho的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？,例题2,分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知,A B C,h0,解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、
4、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。根据太阳高度角的定义有,A B C,h0,P,太阳高度角的定义,如图，设地球表面某地纬度值为，正午太阳高度角为，此时太阳直射纬度为 那么这三个量之间的关系是当地夏半年 取正值，冬半年 取负值。,太阳光,地心,北半球,南半球,太阳光直射南半球,太阳光,地心,解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。根据太阳高度角的定义
5、有 所以 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高1.35倍的间距。,A B C,h0,P,一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时开始计算时间。（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？,例题3,解(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。设角。由OP在t(s)内所转过的角为，可知以Ox为始边，OP为终边的角为，故点P的纵坐标为，则,当t=0,z=0,可得.,因为,所以.,故所求函数关系式为.,(2)令,得.,取,解得.,即点P第一次到达最高点大约
6、要5.5S.,小结:,1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.,2.建立三角函数模型的一般步聚:,三角函数离我们有多近？,1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？,提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。,你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！,2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？,三角函数模型的简单应用(二),教学目标：1、知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角
7、函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。2、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯；使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力.3、情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角
8、函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。,一、设置情境，呈现问题 二、探索实践，寻找模型 1、初步认识 2、深入探索 三、回归现实,提出问题 四、练习反馈,提高能力 五、总结提炼,延时探究,教学过程：,法国圣米切尔山,涨潮,落潮,海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。,（一）设置情境，呈现问题,依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放。,宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“T”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以
9、下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。,1.依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动?,2.按安全条例规定，船何时安全进出港,上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？哪个是因变量？,(潮汐对轮船进出港口产生什么影响？),某港口在某季节每天的时间与水深关系表：,(1)试着用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化情况。（作出这些数据的散点图,并用平滑曲线连接）,问题一：,二、探索实践，寻找模型 1、初步认识,（2）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点
10、时的水深的近似数值（精确到0.001）.,（4）解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数 刻画水深与时间的关系。,从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，,由 得,问题二：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？,2、深入探索,在问题二的条件下，若货船在港口停留8小时以上，则货船的吃水深度至多是多少？,试试看,问题三：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少
11、，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。,在货船的安全水深正好与港口水深相等时，停止卸货吗？,(三)回归现实,提出问题,现在该港口提高卸货效率，使得货轮的吃水深度以每小时1米的速度减小，问该港口能否一次性接卸吃水深度为6米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为1米）,练一练,嘿，有挑战性!,(四)练习反馈,提高能力,练习：某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0t24，单位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：,依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请设计一天内从上午到晚上(8:0020:00）之间,开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动?
12、,小结反思:,1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.,2.建立三角函数模型的一般步聚:,搜集数据,利用计算机作出相应的散点图,进行函数拟合得出函数模型,利用函数模型解决实际问题,(五)总结提炼,延时探究,作业巩固,（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考对具有周期性实际问题函数处理的方法和手段,（二）书面作业：,（三）实践探究性作业：,宁波港与潮汐,天安门广场国旗升降时间,宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“T”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老
13、港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。,（1）请查阅宁波港的2006年12月潮汐表，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型。,（2）请查阅各式货轮的吃水深，北仑港的航道水深及潮汐表，考察30万吨以上“海上巨无霸”型货轮候潮进港的可能性？,我国主要港口2006年12月潮汐预报http:/,天安门广场国旗的升降时间，是根据北京的日出日落时间确定的，具体时间是由北京天文台的天文学家林亨专门计算的。早晨，当太阳的上缘与天安门广场所见地平线相平到下缘离开地平线（共2 分零 7 秒）为升旗时间，下缘落入地平线开始至上缘消失为降旗时间。,中华人民共和国国旗网-天安门广场国旗升降时间表,天安门广场国旗的升降时间,由于日期不同，日出、日落也不同，这样国旗的升降时间也有所差异。,宁波市镇海中学,钟清,
