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1、1,ARMA模型的概念和构造,2,一、ARIMA模型的基本内涵,一、ARMA模型的概念自回归移动平均模型（autoregressive moving average models,简记为ARMA模型），由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到。包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。,3,ARIMA模型的概念,一.移动平均过程1.移动平均（MA）过程的表示：其中u为常数项，为白噪音过程引入滞后算子L，原式可以写成:或者,4,ARIMA模型的概念,2.MA（q）过程的特征1.2.3.自协方差 当kq时 0 当kq时 对于任意的，MA(q)是平
2、稳的。,5,ARIMA模型的概念,二.自回归（AR）过程 1.自回归（AR）过程表示为：其中为 为白噪音过程引入滞后算子，则原式可写成 其中,6,ARIMA模型的概念,2.AR(p)过程平稳的条件 如果特征方程：的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是平稳的,7,ARIMA模型的概念,3.AR(p)过程的特征=0，的无条件期望是相等的，若设为u，则得到:,8,ARIMA模型的概念,将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程的方差及各级协方差。,9,ARIMA模型的概念,三.自回归移动平均（ARMA）过程1.ARMA过程
3、的形式其中 为白噪音过程。若引入滞后算子，可以写成其中,10,ARIMA模型的概念,2.ARMA过程平稳性的条件ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。当满足条件：特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平稳过程。,11,ARIMA模型的概念,3.ARMA(p,q)过程的特征1）2）ARMA(p,q)过程的方差和协方差,12,ARIMA模型的概念,四.AR、MA过程的相互转化结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA()过程，可采用递归迭代法完成转化结论二：特征方程根都落在单位圆外的 MA(q)过程具有可逆性平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的，所不同的是，前者
4、是对AR过程而言的，而后者是对MA过程而言的。,13,二、Box-Jenkins方法论,建立回归模型时，应遵循节俭性(parsimony)的原则 博克斯和詹金斯(Box and Jenkins)提出了在节俭性原则下建立ARMA模型的系统方法论,即Box-Jenkins方法论,14,Box-Jenkins方法论,Box-Jenkins方法论 的步骤：步骤1：模型识别步骤2：模型估计步骤3：模型的诊断检验步骤4：模型预测,15,三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测,(一).ARMA模型的识别1.识别ARMA模型的两个工具：自相关函数(autocorrelation function,简记为AC
5、F）；偏自相关函数(partial autocorrelation function,简记为PACF)以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对于滞后长度描图）。,16,ARMA模型的识别,2.自相关函数和偏自相关函数的概念自相关函数过程 的第j阶自相关系数即，自相关函数记为ACF(j)。偏自相关函数 偏自相关系数 度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数记为PACF(j),17,ARMA模型的识别,自相关函数和偏自相关函数的联系2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂，这里不再给出。,18,ARMA模型的识别,2.MA、AR、ARMA过程自相关函数及偏自相关函数的特点
6、MA(q)过程的自相关函数 1jq jq时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征如下图：,19,ARMA模型的识别,MA（2）过程,20,ARMA模型的识别,AR(p)过程的偏自相关函数 时，偏自相关函数的取值不为0 时，偏自相关函数的取值为0AR(p)过程的偏自相关函数p阶截尾如下图：,21,ARMA模型的识别,22,ARMA模型的识别,23,ARMA模型的识别,AR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏自相关函数平稳的AR(P)过程可以转化为一个MA(）过程，则AR(P)过程的自相关函数是拖尾的一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(）过程，因此其偏自相关函数
7、是拖尾的。,24,ARMA模型的识别,ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相关函数ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的如下图：,25,ARIMA模型的识别,26,ARMA模型的识别,3.利用自相关函数、偏自相关函数对ARMA模型进行识别通过ADF检验，来判断序列过程的平稳性；利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的图形来确定p,q的值。,27,（二）ARMA模型的估计,ARMA模型的估计方法：矩估计极大似然估计非线性估计最小二乘估计,28,（三）ARMA模型的诊断,一.诊断的含义二.诊断的方法三.检验统计量 Box和Pierce提出的Q统计量 Ljung和Box(1978)提出的
8、LB统计量。,29,ARIMA模型的诊断,1.Q统计量，近似服从（大样本中）分布其中n为样本容量，m为滞后长度2.LB统计量，服从 分布，其 中n为样本容量，m为滞后长度。3.LB统计量的特点,30,ARMA模型的诊断,四.信息准则(information criteria)Akaike 信息准则Schwarz 信息准则Hannan-Quinn 信息准则其中 为残差平方，是所有估计参数的个数，T为样本容量。,31,ARMA模型的预测,一.基于AR模型的预测以平稳的AR(2)过程为例：其中 为零均值白噪音过程,32,ARMA模型的预测,在t时刻，预测 的值：=在t时刻，预测 的值：同理：结论,3
9、3,ARMA模型的预测,二.基于MA过程的预测过程结论：MA(2)过程仅有2期的记忆力,34,ARMA模型的预测,三.基于ARMA过程的预测结合对AR过程和MA过程进行预测ARMA模型一般用于短期预测,35,五、实例：ARMA模型在金融数据中的应用,数据：1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间序列数据目的：说明在Eviews5.0 软件中利用B-J方法论建立合适的ARIMA（p,d,q）模型,36,ARMA模型的估计,37,利用ARMA模型进行预测,用dynamic方法估计2003年1月到2005年1月的w2,38,利用ARMA模型进行预测,利用“static”方法估计2004年1月到2005年1月的w2,
