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1、,概率论与数理统计第六讲,主讲教师：张冬梅 博士 副教授,浙江工业大学理学院,2.3 随机变量及其分布,随机变量的分布函数；概率密度；几种常见连续型随机变量分布,2.3.1 随机变量的分布函数,定义1:设 X()是一个随机变量，称函数 F(x)=PXx,-x 为随机变量 X 的分布函数。,性质：,(1).ab,总有F(a)F(b)(单调非减性)；(2).F(x)是一个右连续函数；(3).xR，总有0F(x)1(有界性)，且,证明：仅证(1)。,因 aXb=Xb-Xa，PaXb=PXb-PXa=F(b)-F(a).又，因 PaXb0，故 F(a)F(b).,注意：一个重要公式:PaXb=F(b)
2、-F(a).即随机变量落在区间(a,b上的概率可以通过分布函数来计算。,设离散型随机变量X 的概率分布为 pk=P X=xk,k=1,2,X 的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,X 的分布函数为,例,故离散型随机变量的分布函数 F(x)，在 X=xk(k=1,2,)处有跳跃值 pk=PX=xk，如下图所示：,连续型随机变量所有可能取值充满若干个区间。可用“概率分布函数”和“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。,2.3.2 连续型随机变量的概率密度,概率密度函数,定义1：若存在非负可积函数 f(x),使随机变量X取值于任一区间(a,b 的概率可表示成,则称 X为连续型随机变量，f(x)为
3、X 的概率密度函数，简称概率密度或密度。,这两条性质是判定函数 f(x)是否为概率密度函数的充要条件。,概率密度函数的性质,f(x)与 x 轴所围 面积等于1。,(3).对 f(x)的进一步理解：,X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值,恰好是X 落在区间 x,x+x上的概率与区间长度x 之比的极限。如果把概率理解为质量，f(x)相当于物理学中的线密度。,注意：概率密度函数 f(x)在点 a 处取值，不是事件 X=a 的概率。但是，该值越大，X 在 a 点附近取值的概率越大。,若不计高阶无穷小，有：,表示随机变量 X 取值于(x,x+x上的概率近似等于 f(x)x。,f(x)x 在连续型随
4、机变量中所起的作用与 pk=PX=xk 在离散型随机变量中所起的作用类似。,(4).约定：连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.,即：,因为：,由此得，,对连续型 随机变量 X,有,由P(X=a)=0，可推出,而 X=a 并非不可能事件,可见：,由P(A)=0,不能推出 A=；,并非必然事件。,由 P(B)=1,不能推出 B=。,分布函数与概率密度函数之间的关系,2.3.3 常见的连续型随机变量,正态分布、均匀分布、指数分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)给出并推广的一种分布（高斯分布）。,1.正态分布,红色曲线近似于正态分布的概率密度曲线
5、。,I.正态分布的定义,定义：若随机变量 X 的概率密度函数为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。,(Normal),其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布。,II.正态分布 的图形特点,特点“两头低，中间高，左右对称”。,关于X=对称的钟形曲线,并在 x=处达到最大值,正态分布 的图形特点,决定了图形的中心位置,决定了图形峰的陡峭程度。,这说明：曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f(x)以 x 轴为渐近线。,当 x 时，f(x)0。,求导的方法可以证明：,为f(x)的两个拐点的横坐标。,x=,III.正态分布 的分布函数,IV.标准正态分布,称 N(0
6、,1)为标准正态分布，其密度函数和分布函数常用 来表示。(附录),依据？,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,定理1：,附录（P289）附有标准正态分布函数数值表，可以解决一般正态分布的概率计算问题。,V.正态分布表,表中给出的是 x 0时，(x)的取值;,若 XN(0,1),服从N(0,1),解:设车门高度为 h，按设计要求,P(X h)0.01，或 P(X h)0.99，,求满足上式的最小的 h。,例1：公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会
7、在0.01以下来设计的。设某地区成年男性身高(单位:cm)XN(170,7.692),问车门高度应如何确定?,因为XN(170,7.692),求满足 P(X h)0.99 的最小 h。,故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。,若随机变量 X 的概率密度为：,则称 X 服从区间 a,b 上的均匀分布，记作：,X Ua,b,2.均匀分布(Uniform),(注:也记作 X U(a,b)。,若X Ua,b，则对于满足 acdb 的c 和 d，总有,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。,定义：若随机变量 X 具有概率密度,3.指数分布,则称 X 服
8、从参数为的指数分布，记成 X E()。,例2：设某电子管的使用寿命X(单位：小时)服从参数=0.0002的指数分布，求电子管使用寿命超过3000小时的概率。,解：,2.3.4 连续型随机变量的分布函数,即分布函数是密度函数的变上限积分。,由上式，得：在 f(x)的连续点，有,回忆：若X 是连续型随机变量，f(x)是X 的密度函数，F(x)是分布函数，则对任意xR，总有,求连续型随机变量的分布函数,解：,求 F(x).,对 x-1，有 F(x)=0；,对 x 1，有 F(x)=1.,即,思考：均匀分布的分布函数是什么？,随机变量的分布函数；三种常用的连续型随机变量：正态分布，均匀分布和指数分布；离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。,小结,
