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1、Thursday,October 19,2023,1,第三节 二阶系统的瞬态响应,Thursday,October 19,2023,2,一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。,开环传递函数为:,闭环传递函数为:,称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。,典型结构的二阶系统如图所示。,Thursday,October 19,2023,3,特征根为：,注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃
2、响应主要有振荡和非振荡两种情况。,特征方程为：,当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。,当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。,当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,Thursday,October 19,2023,4,当输入为单位阶跃函数时，有：,当 时，极点为：,此时输出将以频率 做等幅振荡，所以,称为无阻尼振荡圆频率。,二、典型二阶系统的瞬态响应,Thursday,Oc
3、tober 19,2023,5,两阶系统的瞬态响应,当 时，系统极点为：,Thursday,October 19,2023,6,两阶系统的瞬态响应,系统极点为：,极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。注意：。,Thursday,October 19,2023,7,阶跃响应函数为：,当 时，极点为：,两阶系统的瞬态响应,Thursday,October 19,2023,8,两阶系统的瞬态响应,当 时，极点为：,即特征方程为,特征方程还可为,Thursday,October 19,2023,9,两阶系统的瞬态响应,因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯
4、性环节的串联，其单位阶跃响应为,式中,Thursday,October 19,2023,10,两阶系统的瞬态响应,Thursday,October 19,2023,11,上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：,典型两阶系统的瞬态响应,Thursday,October 19,2023,12,典型两阶系统的瞬态响应,可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。,Thursday,October 19,20
5、23,13,衰减振荡瞬态过程的性能指标,三、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系,（一）衰减振荡瞬态过程：,上升时间：根据定义，当 时，。,解得：,Thursday,October 19,2023,14,称为阻尼角，这是由于。,衰减振荡瞬态过程的性能指标,Thursday,October 19,2023,15,衰减振荡瞬态过程的性能指标,峰值时间：当 时，,整理得：,由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：,其中,Thursday,October 19,2023,16,衰减振荡瞬态过程的性能指标,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,0,5,1
6、0,15,20,25,Thursday,October 19,2023,17,最大超调量：,故：,衰减振荡瞬态过程的性能指标,将峰值时间 代入,最大超调量仅与阻尼系数有关。,Thursday,October 19,2023,18,衰减振荡瞬态过程的性能指标,Thursday,October 19,2023,19,衰减振荡瞬态过程的性能指标,调节时间：,可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为,根据调节时间的定义，当tts时|c(t)-c()|c()%。,Thursday,October 19,2023,20,当t=ts时，有：,由于实际响应曲线的收敛速
7、度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。,衰减振荡瞬态过程的性能指标,当 较小时，近似取：，且,所以,Thursday,October 19,2023,21,由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。,Thursday,October 19,2023,22,衰减振荡瞬态过程的性能指标,Thursday,October 19,2023,23,衰减振荡瞬态过程的性能指标,Thursday,October 19,2023,24,衰减振荡瞬态过程的性能指标,Thursday,Oc
8、tober 19,2023,25,振荡次数N：,衰减振荡瞬态过程的性能指标,Thursday,October 19,2023,26,非振荡瞬态过程的性能指标,这是一个单调上升的过程。用调整时间 就可以描述瞬态过程的性能。利用牛顿迭代公式,（二）非振荡瞬态过程：对于，极点为：,Thursday,October 19,2023,27,牛顿迭代公式：对,其根可迭代求出:,现在确定函数f(x):令，在调整时间处，有，则可令：,由上式解出的x即是调整时间,Thursday,October 19,2023,28,非振荡瞬态过程的性能指标,在c(t)中，有两个衰减指数项，所以是一个单调上升的过程。用调整时间
9、 就可以描述瞬态过程的性能。,当 时,利用牛顿迭代公式可得,式中,此时调节时间由较大的时间常数决定。,当 时，极点为：,Thursday,October 19,2023,29,非振荡瞬态过程的性能指标,Thursday,October 19,2023,30,非振荡瞬态过程的性能指标,此时，极点s2远离虚轴，且c(t)中包含极点s2的指数项的系数绝对值大，所以由极点s2引起的指数项衰减的很快。,这时出现的问题是c(0)0。,当 时，极点为：，,同时，c(t)中包含极点s2的衰减项的系数小，所以由极点s2引起的指数项在解中所占比重小。,因此可以考虑在瞬态过程中忽略s2的影响，把二阶系统近似为一阶系
10、统。,Thursday,October 19,2023,31,非振荡瞬态过程的性能指标,需要说明的是，在所有非振荡过程中，临界阻尼系统的调节时间最小。,通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系统的阻尼系数在01之间。而不希望处于过阻尼情况，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于 情况。,这时，闭环传函应写成时间常数形式，通过略去小时间常数来降阶，而不能简单地略去大极点来降阶。,这样才能既保证降阶的系统的初值和终值都与原系统一样。,Thursday,October 19,2023,32,阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数
11、，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结,为了限制超调量，并使 较小，一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。,Thursday,October 19,2023,33,典型二阶系统响应特性的小结,极点位置与阶跃响应形式的关系,典型二阶系统响应特性的小结,Thursday,October 19,2023,34,阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系,极点位置与特征参数z、wn及性能指标的关系,wn是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。,Thursday,Octo
12、ber 19,2023,35,极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比(0z0.8),对于临界阻尼和过阻尼时，此规律也存在。,Thursday,October 19,2023,36,瞬态过程的性能指标例子,例：求如下随动系统的特征参数,分析与性能指标的关系。,若假设电枢电感La=0，则Ta=0，方程为,当只考虑Ua时，电动机的微分方程方程为,电动机传递函数为,电压放大器和功放的传递函数分别为K1和K2，可得方框图,因 所以,Thursday,October 19,2023,37,瞬态过程的性能指标例子,闭环传递函数为：,T不变，K,下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设):,N。,z,d
13、%,wn,wd,zwn=1/2T不变，ts几乎不变,总之，K增大振荡加剧；,K不变，T,N。,z,d%,wn,wd,zwn=1/2T,ts,实际系统中T往往不能变，要使系统性能好，则K，这对控制精度不利。,Thursday,October 19,2023,38,改善二阶系统响应特性的措施,四、改善二阶系统响应特性的措施,二阶系统超调产生过程0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。t2,t3误差信号为负，此时反向
14、修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。,Thursday,October 19,2023,39,改善二阶系统响应特性的措施,二阶系统超调产生原因0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。t1,t2 反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信
15、号同向的信号。即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。,Thursday,October 19,2023,40,改善二阶系统响应特性的措施,a.输出量的速度反馈控制,b.误差的比例+微分控制,将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。,以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制作用。简称PI控制。又称微分顺馈,为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和速度顺馈是较常
16、用的校正方法。,Thursday,October 19,2023,41,改善二阶系统响应特性的措施,a.输出量的速度反馈控制,与典型二阶系统的标准形式 比较,不改变无阻尼振荡频率,等效阻尼系数为,由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。,Thursday,October 19,2023,42,改善二阶系统响应特性的措施,b.误差的比例+微分控制,与典型二阶系统的标准形式,比较 不改变无阻尼振荡频率,等效阻尼系数为,由于，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。,闭环传递函数有零点，将会给系统带来影响。,Thursday,October 19,2023,43,改善二
17、阶系统响应特性的措施,c.比例+微分控制与速度反馈控制的关系,比例+微分控制相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例+微分。其中对反馈信号进行比例+微分相当于速度反馈。所以误差的比例+微分控制相当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例+微分环节。因此可以将其分别讨论。,Thursday,October 19,2023,44,具有零点的二阶系统,四、具有零点的二阶系统分析,具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，(和 不变)。其闭环传递函数为：，零点为：,具有零点的二阶系统 的单位阶跃响应为：,Thursday,October 19,2023,45,由上图可看出：使得 比 响应迅速且有较大
18、超调量。,具有零点的二阶系统分析,Thursday,October 19,2023,46,设 为零点和极点实部之比,具有零点的二阶系统分析,Thursday,October 19,2023,47,具有零点的二阶系统分析,具有零点的二阶系统阶跃响应为：,式中：，,Thursday,October 19,2023,48,具有零点的二阶系统分析,根据上式可以得出主要性能指标如下：,式中：，,Thursday,October 19,2023,49,具有零点的二阶系统分析,具有零点的二阶系统阶跃响应为：,Thursday,October 19,2023,50,比例+微分控制的性能,比例+微分控制的性能,
19、显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加了顺馈环节虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。,Thursday,October 19,2023,51,具有零点的二阶系统分析,Thursday,October 19,2023,52,比例微分控制与测速反馈控制的比较,对于理想的线性控制系统，在比例微分控制和测速反馈控制方法中，可以任取其中一种方法来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的
20、具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率等。下面，仅讨论几种主要的差别：附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用产生于系统的输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的的稳态误差。使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制。同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合
21、比较广泛。,Thursday,October 19,2023,53,比例微分控制与测速反馈控制的比较,对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。对动态系统的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。,Thursday,October 19,2023,54,具有零点的二阶系
22、统分析,Thursday,October 19,2023,55,瞬态过程的性能指标例3-1,解：,例3-1：如图所示系统，试求：和;和 若要求 时，当T不变时K=?,Thursday,October 19,2023,56,瞬态过程的性能指标例3-2,解：系统的闭环传递函数为：,Thursday,October 19,2023,57,这时的瞬态性能指标为：,瞬态过程的性能指标例3-2,显然，加入了速度反馈后，不变，而 增加了 倍。上例中，若要求，则：,Thursday,October 19,2023,58,具有零点的二阶系统性能指标与实例,解：,例3-3对典型的二阶系统（）采用微分顺馈校正。为使
23、，试确定顺馈系数 和。,Thursday,October 19,2023,59,具有零点的二阶系统性能指标与实例,与未加微分顺馈时比较：,显然，加了微分顺馈后，瞬态品质提高了。,表三罗列了典型二阶系统，附加速度反馈，附加微分顺馈后的性能指标。,Thursday,October 19,2023,60,小结,二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。典型二阶系统的瞬态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。典型二阶系统的性能指标主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。具有零点的二阶系统单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；速度顺馈校正；扰动作用下典型二阶系统性能指标,
