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1、离散型随机变量及其分布律,连续型随机变量,随机变量及其分布函数,第四章随机变量及其分布,基本思想,将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果,有些随机试验的结果可直接用数值来表示.,例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示,例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的,可规定:用 1表示“正面朝上”用 0 表示“反面朝上”,有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化,4.1随机变量及其分布函数,一、随机变量,随机变量的定义,设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间上的随机变量。,例1从装有三个白球（记为1,2，3
2、号）与两个黑球（记为4,5号）的袋中任取两个球，设随机变量X表示取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，X是如何表示的？（1）观察取出的两个球的颜色（2）观察取出的两个球的号码。,解(1)试验的样本点和基本事件,取出第i号球与第j号球,（i,j）,(2)试验的样本点和基本事件,用随机变量表示事件,如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 A=“出现偶数点”可表示为：X=2 X=4 X=6 B=“出现的点数小于”可表示为：X 4或X3,P(A)=P(X=2 X=4 X=6),P(B)=P(X 4)=P(X3),也可以是等式或是不等式。,=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6),引入随机变量
3、。随机事件由：样本点的集合随机变量的取值区间概率的确定函数的计算这个函数就是随机变量的概率分布函数,随机变量,样本点,纯数学计算,概率,事件,区间/数集,二、随机变量的分布函数,设X为一随机变量,则对任意实数x，Xx是一个随机事件，称,为随机变量X的分布函数,F(x)是一个普通的函数！,Distribution Function,分布函数的定义,分布函数的性质,单调不减性,非负有界性 0 F(x)1,不可能事件,必然事件,右连续性,反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质。,规范性,问一问,能否作为某一随机变量的分布函数？,不是,因为,例
4、2设一袋中，依次有标着1、2、2、2、3、3数字的6个球，从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。,解X可能取的值为1,2，3，且,当x-1时，Xx是一个不可能事件，故,当-1 x2时，,X x,=X=1，,故,当2 x3时，,X x,=X=1X=2，,故,当3 x时，Xx是一个必然事件，故,即，X的分布函数为,引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。,分布函数表示事件的概率,P(Xb)=F(b),P(aXb)=F(b)F(a),P(Xa)=1 P(Xa)=1-F(a),P(Xb),P(Xb),P(Xb),=F(b-0),=1-F(b-0),=F(b)F
5、(b-0),4.2 离散型随机变量,称此式为X的分布律（列）或概率分布（Probability distribution),设离散型随机变量 的所有可能取值是，而取值 的概率为,即,一、离散型随机变量的分布律,随机变量X的概率分布全面表达了X的所有可能取值以及取各个值的概率情况,离散随机变量分布律的表格表示法,公式法,表格法,性质,例3 设离散型随机变量X的分布律为,P（X=xi）=pi i=1、2、,其中 0 p 1，求 p 值。,解：,P461,例4 设袋中有5个球，编号分别为 1、2、5，从中同时取出3个球，以X表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。,解：X的所有可能取值为1,2
6、，3，且由古典概率公式可得,即X的分布律为,故，X的分布函数,一般地，对离散型随机变量 XP（X=xk）pk,k1,2,其分布函数为,例2中，得到X的分布律为,求 取得的球上的数字是非负的概率,P(0X)=P(X=2)+P(X=3),分布律确定事件的概率,例5,解,取得的球上的数字是非负的X0,X=2X=3,=1/2+1/3=5/6,二、几种常见的离散型分布,0-1分布(二点分布),则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,背景：样本空间可划分为两种结果的情况都可以用两点分布来描述。,如：上抛一枚硬币。,定义：若随机变量X的分布律为:,其中0 p 1,则称X服从参数为 n,p 的二项分布
7、(也称Bernoulli 分布）,记为,XB(n,p),在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,n.,随机变量X的分布律,二项分布,Binomial distribution,例6 从学校乘汽车去火车站须经过3处红绿灯，设各处红绿灯的出现相互独立，且每处遇红灯的概率都是0.25,用X表示遇到红灯的次数，求X的分布律及至多遇到一次红灯的概率。,解：此例遇红灯即为三重贝努利试验，故,所以，,即X的分布律为,故至多遇到一次红灯的概率,P（X1）,=P（X=0）+P（X=1）,由于元件的总数很大，而抽取的数相对较小，故可当作是有放回抽样来处理。这时可认为每只元件
8、是一级品的概率是p=0.2,不是一级品的概率是1-p=0.8，而元件之间的检查是相互独立的，故可将检查一只元件是否为一级品看作是一次伯努利试验，检查20只元件相当于是做20重伯努利试验。现设X为20只元件含一级品的只数，则,例7按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只，问20只元件中恰有k只(k=0,1,，20)为一级品的概率是多少？,故,解：,例8 设保险公司的某种人寿保险有1000人投保，每人一年内的死亡率为0.005，求这1000人中死亡人数不超过10人的概率。,解：设X为这1000人中一年内的死亡数，,则
9、 XB（1000，0.005）,故所求概率为,P（X10）=,0.986.,例9 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。,解：记X为击中的次数，则,故所求概率为,结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为,成功次数服从二项概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力,泊松分布 Poisson distribution,若随机变量 X 的分布律为:,其中 0,则称X服从参数为的泊松分布,XP(),服务台在某时间段内接待的服务次数X；候车的旅客数Y;矿井在某段时间发生事
10、故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目,体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。,举例,例10在一个放射性物质的试验中，共观察了N=2608次，每次观察的时间为7.5秒，并记录到达指定区域内的质点数。,例11设每分钟通过某交通道口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无汽车通过与恰有一辆汽车通过的概率相等，求一分钟内至少有两辆汽车通过的概率。,解：设 XP（），,由 P（X=0）=P（X=1），知,故有=1，,因此所求概率为,P（X2）,=1P（X=0）P（X=1）,泊松定理,实际应用中：当n
11、较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,二项分布的泊松近似,The Poisson Approximation to the Binomial Distribution,几何分布,若随机变量X的分布律为,则称X服从几何分布。,P(X=k)=,其中p+q=1,0p1,例12在一个贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p(0p1),设试验进行到第X次才出现成功，求X的分布律。,X的取值为1,2，且相应的概率为,P4711,解：,4.3 连续随机变量,定义,设X为一随机变量，分布函数为F(x),若存在非负实函数 f(x),使对任意实数 x，有,则称X为连续型
12、随机变量，f(x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.,Probability density function p.d.f.,一、概率密度函数的定义,二、概率密度函数的性质,1、非负性,2、规范性,可以根据这两个性质来判断一个函数是不是某个连续型随机变量的密度函数。,3、密度函数在区间上的积分=随机变量在区间上取值的概率,4、密度函数和分布函数的关系,积分关系,导数关系,概率密度f(x)不是随机变量X取值x的概率,而是X在点x的概率分布的密集程度,f(x)的大小能反映出X取x的附近的值的概率大小.,连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续,P（X=a）=0,P(a X b)=P
13、(aXb)=P(a X b)=P(aXb),X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分,连续型随机变量的分布函数的性质,因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0,=F(b)-F(a),已知分布函数求密度函数,例13设随机变量X的分布函数,求X的密度函数，并计算P(X1)和P(X2).,解：X的密度函数,P(X1),F（1）,P(X2)1P(X2),1F（2）,例14设连续型随机变量X的密度函数为,求：1、c 的值；2、F(x)；3、P（1X1）。,解：1、,因为,2、,积分区域：（,x,（1）,（2）,（3）,3、,P（1X1）,F（1）F（1）,1/8.,或利用密度函数求概率
14、：,P（1X1）,1、均匀分布,若连续型随机变量X的概率密度为,则称X在区间（a，b）上服从均匀分布记为 X U(a,b),定义,分布函数,三、几种常用的连续型分布,X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。,意义,例15102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。,解：设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布，即,XU（0，5），,则X的密度函数,故所求概率为,例16设K在-1，5上服从
15、均匀分布，求方程,有实根的概率。,解：方程有实数根,即,而 的密度函数为,故所求概率为,2、指数分布,若连续型随机变量X的概率密度为,定义,分布函数,则称X服从参数为 的指数分布.,例14 设打一次电话所用时间XE（0.2），（单位：分），若刚好有人先你进入公用电话亭（只有一台电话），求:（1）你等待时间超过5分钟的概率，（2）你等待时间在5分钟到10分钟的概率。,解：因为 XE（0.2），故其密度函数为,故所求概率分别为,(1)P（X5）=,(2)P（5X10）=,3、正态分布,若随机变量X的密度函数为,则称X服从参数为，的正态分布。,记为,分布函数为,(1)单峰对称 密度曲线关于直线x=对
16、称；(p43)(2)f()maxf(x),正态分布的几个特性：,(3)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布,标准正态分布,标准正态分布,性质,密度函数,分布函数,当b0时，,的值可由表查得,解,定理：,，对X进行标准化，得,则,而标准正态分布的分布函数的函数值可以查表求得。,例16,解,解,特别地，当k=3时，,本题结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为，忽略 的值.如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.,例18 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d，液体温度X(以计)是一个随机变量，且XN(d,0.52),(1)若d=90，求X小于89的概率。(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.9901，问d至少为多少？,解,(1)所求概率为,(2)由题意可得,d81.165,则称 为标准正态分布的上分位点。,几个常用的 的值：,1、设,练习,且,则必有(),A,2006二(14),则x等于（）,C,2004二（13）,2002一（）,
