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1、一、随机变量方差的定义及性质,三、例题讲解,二、常见概率分布的方差,四、矩的概念,第3.2节 随机变量的方差和矩,五、小结,1.方差的定义(定义3.3),一、随机变量方差的定义及性质,方差描述了随机变量X取值对于数学期望的分散程度.如果D(X)值大,表示X 取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,2.方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,3.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,证明,(2)利用公式计算,证明,4.方差的性质,(1)设 C 是常数,则有,(2)设 X 是一个随机变量,C 是常数,则
2、有,证明,(3)设 X,Y 相互独立,D(X),D(Y)存在,则,证明,推广,(6)契比雪夫不等式,证明,对连续型随机变量的情况来证明.,契比雪夫不等式,契比雪夫,得,1.两点分布,则有,二、常见概率分布的方差,2.二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n,p 二项分布,其分布律为,3.泊松分布,则有,所以,4.均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,5.指数分布,则有,6.正态分布,则有,分布名称,参数,数学期望,方差,分布,参数,数学期望,方差,解,三、例题讲解,例1,于是,例3.15 在每次试验中,事件A发生的概率为0.5.(1)利用切比谢夫不等式估计在1000次
3、独立试验中,事件A发生的次数在400 500之间的概率;,(2)要使A出现的频率在0.35 0.65之间的概率不小于0.95,至少需要多少次重复试验?解:设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数,则 X B(1000,0.5),E(X)=10000.5=500,D(X)=10000.50.5=250,于是由切比谢夫不等式得,(2)设需要做n次独立试验,则X B(n,0.5),求n使得成立,由切比谢夫不等式得故至少需要做223次独立试验.,四、矩的概念,定义3.4,定义3.5,2.说明,五、小结,1.方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X 取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,2.方差的计算公式,3.方差的性质,4.契比雪夫不等式,Pafnuty Chebyshev,Born:16 May 1821 in Okatovo,RussiaDied:8 Dec 1894 in St Petersburg,Russia,契比雪夫资料,解,例1,备份题,解,例2,因此有,证明,例3,故得,解,例5,解,例6,
