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1、一个定义在正整数集合上的函数f(n)(称为整标函数),当自变量 按正整数1,2,3,依次增大的顺序取值时,函数值按相应的顺序排成一串数:f(1),f(2),f(3),f(n),称为一个无穷数列,简称数列。数列中的每一个数称为数列的项，f(n)称为数列通项。,1.数列的定义,例如,当n无限增大时xn无限接近于1，即xn-1无限接近于0。,xn无限接近于1，即1-xn无限接近于0。,xn无限接近于1，即|xn-1|无限接近于0。,无限接近于0是什么含义？用数学的语言怎么刻画？,理解：当n无限不断增大时，|xn-1|无限接近于0。,|xn-1|作为一个正数要有多小就有多小。,|xn-1|可以小于任意
2、给定的正数。,例如 给定1/10,存在N=10，当nN时，|xn-1|N时，|xn-1|N时，|xn-1|0.003,一般的，任意给定0,存在正整数N,当nN时，|xn-1|,2.数列的极限,注意：,如果数列xn以a为极限，通常也说数列xn收敛于a。如果数列xn的极限不存在，就说数列xn发散。,例1,证,所以,3.极限的证明,例2,证,证,例4,证,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,4.极限的几何解释,即,定理1(极限的唯一性),证,用反证法.,5.极限的唯一性,例4,证(用反证法),区间长度为1.,因此这数列发散.,而这两个不可能同时属于长度为1的区间内,定理2,证,6.收敛数列的有界性,推论 无界数列必定发散.,从而,定理3,证,就a0的情形证明.由数列极限的定义，,对,7.收敛数列的保号性,1.1 小结,极限的定义 极限的几何含义极限的唯一性极限的有界性极限的保号性。子列的收敛性,
