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1、高等数学多媒体课件,制作人：聂水晶,第十章 无穷级数,第三节 傅里叶级数,在本节中，将讨论另一类重要的、应用广泛的函数项级数三角级数.三角级数也称为傅里叶（Fourier）级数.所谓三角级数，就是除常数项外，各项都是正弦函数和余弦函数的级数，它的一般形式为(1)其中 都是常数，称为系数.特别当 时，级数只含正弦项，称为正弦级数.当 时，级数只含常数项和,余弦项，称为余弦级数.对于三角级数，我们主要讨论它的收敛性以及如何把一个函数展开为三角级数的问题.一、以 为周期的函数展开为傅里叶级数 由于正弦函数和余弦函数都是周期函数，显然周期函数更适合于展开成三角级数.设 f(x)是以 为周期的函数，所谓
2、的傅里叶（Fourier）级数展开就是寻找一个三角级数,使得该级数以 f(x)为和函数，即 f(x)=先解决这样的问题：如果以 为周期的函数可表为式（1）所示的三角级数，那么如何确定 和.为了求出这些系数，先介绍下列内容.1三角函数系的正交性在三角级数（1）中出现的函数（2）,构成了一个三角函数系，这个三角函数系有一个重要的性质，就是定理1（三角函数系的正交性）三角函数系（2）中任意两个不同函数的乘积在 上的积分等于0，具体的说就是有,这个定理的证明很容易，只要把这五个积分实际求出来即.2.f(x)的傅里叶级数为了求（1）式中的系数，利用三角函数系的正交性，假设（1）式是可逐项积分的，把它从
3、到 逐项积分：由定理1，右端除第一项外均为0，所以,于是得 为求，先用 乘以（11.7）式两端，再从 到 逐项积分，得由定理1，右端除 k=n 的一项外均为 0，所以于是得,类似地，用 sinnx乘以（11.7）式两端，再从 到 逐项积分，可得用这种办法求得的系数成为 f(x)的傅里叶系数.综上所述，我们有定 定理2 求f(x)的傅里叶系数的公式是(3),由 f(x)的傅里叶系数所确定的三角级数 成为f(x)的傅里叶级数.显然，当f(x)为奇函数时，公式（3）中的，当为偶函数时，公式（3）中的 所以有推论 当f(x)是周期为 的奇函数时，它的傅里叶级数为正弦级数 其中系数,当 f(x)是周期为
4、 的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数 其中系数 3.傅里叶级数的收敛性上述 定理3（收敛定理）设 以 为周期的函数f(x)在 上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：（1）没有断点或仅有有限个第一类间断点；（2）至多只有有限个极值点，则 f(x)的傅里叶级数收敛，且有：,（1）当x是的连续点时，级数收敛于f(x)；（2）当x是的间断点时，级数收敛于这一点左右极限的算术平值 例1 正弦交流I(x)=sinx电经二极管整流后（图 11-2）变为 为整数，把 f(x)展开为傅里叶级数.,图 11-2解 由收敛定理可知，f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x).,计算傅里叶系数：所以，f(x)的傅里
5、叶展开式为（-x+.,例2 一矩形波的表达式为求 f(x)的傅里叶展开式.解 由收敛定理知，当 时，的傅里叶级数收敛于 f(x).当 时，级数收敛于 又因为 f(x)奇函数，由定理2的推论可知展开式必为正弦级数，只需按推论的公式求 即可.,所以，的傅里叶展开式为,4.或 上的函数展开成傅里叶级数求 f(x)的傅里叶系数只用到 f(x)在 上的部分，即 f(x)只在 上有定义或虽在 外也有定义，但不是周期函数，仍可用公式（11.9）求 f(x)的傅里叶系数，而且如果f(x)在 上满足收敛定理条件，则 f(x)至少在 内的连续点上傅里叶级数是收敛于f(x)的，而在 处，级数收敛于,类似地，如果 f
6、(x)只在 上有定义且满足收敛定理条件，要得到 f(x)在 上的傅里叶级数展开式，可以任意补充 f(x)在 上的定义（只要公式（11.9）中的积分可行），成为函数的延拓，便可得到相应的傅里叶级数展开式，这一展开式至少在 内的连续点上是收敛到 f(x)的.常用的两种延拓办法是把f(x)延拓成偶函数或奇函数.例3 将函数 分别展开成正弦级数或余弦级数.,解 为把 f(x)展开成正弦级数，把 f(x)延拓为奇函数，再用推论的公式计算 由此得 上的展开式也即 f(x)在 上的展开式为 在 处，上述正弦级数收敛于,为把 f(x)展开成余弦级数，把f(x)延拓为偶函数 然后用推论的公式求出 于是得到在 上
7、的余弦级数展开式 由此例也可见到在 上的傅里叶级数展开式不是惟一的.,二、以2 l 为周期的函数展开成傅里叶级数设 f(x)是以2l为周期的函数，且在-l,l上满足收敛定理的条件，为了将周期2l 转换为，作变量代换，即，可以看出，当 x 在区间-l,l上取值时，t 就在 上取值.设 则F(t)是以 为周期的函数且在 上满足收敛定理条件.于是可用前面的办法得到F(t)的傅里叶级数展开式,然后再把 t 换回 x,并注意到，于是就得到傅里叶级数展开式例4 如图11-3所示的三角波的波形函数是以2为周期的函数 f(x)，f(x)在-1,1上的表达式是 求f(x)傅里叶展开式.解 作变换，则得F(t)在
8、 表达式为,利用例3的后半部分可直接写出系数于是得 F(t)的表达式把 t 换回 x 即得仿照例3的做法，也可把上 0,l 的函数展开成正弦级数和余弦级数.,利用例3的后半部分可直接写出系数于是得 F(t)的表达式把 t 换回 x 即得仿照例3的做法，也可把上 0,l 的函数展开成正弦级数和余弦级数.,图11-3,例5 设 f(x)是周期为4 的函数，它在-2,2)上的表示式为将f(x)展开为傅里叶级数.解 先求f(x)的傅里叶系数，这里 l=2.,根据收敛定理，得的傅里叶级数为,谢谢观赏,WPS Office,Make Presentation much more fun,WPS官方微博kingsoftwps,
