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1、第二节 函数的极限,本节我们讨论一般函数,的极限,自变量的变化过程分为:,1.定义,(描述性定义),如果,设有函数,当,无限增大时,无限接近于某常数,则称当,趋于正无穷大时,极限存在,极限值为,注,(1)记号,(2),完全可以认为是从非常大,的正数开始的.,1.当,无限增大时,无限接近于常数,分析:,2.当,无限增大时,可以任意小.,3.要使,有多小,当,大到一定程度时,就能有多小.,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正数,当,时,恒成立.,即,2.定义,则称当,趋于正无穷大时,极限存在,极限值为,设,在,内有定义,如果,记作:,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正数,当,
2、时,恒成立.,精确性定义,几何表示,例1.,验证,证,对,要使,只需,即可,故,对,都存在,当,时,所以原式成立.,恒成立,分析,验证极限总结,目标:,找,具体操作:,从,中找,与,之间的关系,设,在,内有定义,如果,则,.,定理,注：反之不成立,注,(1)记号,(2),完全可以认为从绝对值,非常大的负数开始.,1.定义,(描述性定义),如果,设有函数,当,无限增大，,无限接近于某常数,则称当,趋于负无穷大时,极限存在,极限值为,分析:,无限变小时,无限接近于某常数,1.,2.,无限变小时,可以任意小,3.,要使,有多小,当,就能有多小,小到一定 程度时,取负数绝对值无限变大,当,当,对任意给
3、定的正数,(不论多么小),总存在一个正数,当,时,恒成立.,即,无限趋近于零,2.定义,则称当,趋于负无穷大时,极限存在,极限值为,设,在,内有定义,如果,记作:,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正数,当,时,恒成立.,精确性定义,几何表示,验证,证,对,要使,只需,即可,故,对,总存在,当,恒成立.,例2.,所以原式成立.,时,分析,1.定义,(描述性定义),设有函数,当,无限增大时,无限接近于某常数,则称当,趋于无穷大时,极限存在,极限值为,注,(1)记号,(2),完全可以认为从绝对值非常大,的数开始.,如果,1.当,无限增大时,无限接近于常数,分析:,2.当,无限增大时,可以
4、任意小.,3.要使,有多小,当,大到一定程度时,就能有多小.,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正数,当,时,恒成立.,即,2.定义,则称当,趋于无穷大时,极限,极限值为,设,在,有定义,如果,记作:,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正数,当,时,恒成立.,精确性定义,存在,几何表示,验证,证,对,要使,只需,即可,故,对,总存在,当,恒成立.,例3.,所以原式成立.,时,分析,前三种极限之间的关系:,考察 六种基本初等函数,在以上三种变化状态下的变化趋势,1.定义,(描述性定义),设有函数,当,无限趋近,无限接近于某常数,则称,极限存在,注,(1)记号,(2),完全可以
5、认为,如果,时,无限趋近,时,值为,从,附近开始,(3),存在,是,存在,的,无关条件.,且,分析:,无限接近于某常数,1.当,2.当,无限变小时,可以任意小.,3.,要使,有多小,当,就能有多小.,无限趋近,时,小到一定,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正数,当,时,恒成立.,即,程度时,设,在,的某空心邻域内有定义,如果,对任给正数,不论多么小,总存在正数,当,时,记作:,恒成立,2.定义,(精确性定义),则称,极限存在,趋近,时,极限值为,几何表示,验证,证,对,要使,只需,即可,故,对,总存在,当,恒成立.,例4.,所以,时,分析,1.定义,(描述性定义),设有函数,当,从
6、,无限接近于,注,(1)记号,(2),完全可以认为,如果,时,从,右侧附近开始.,某常数,右侧无限趋近,则称,无限趋近,极限存在,极限值为,时,从,的右侧,或称,无限趋近,时,的右极限存在,或,右极限值为,设,在,的某右邻域内有定义,如果,对任给正数,不论多么小,总存在正数,当,时,恒成立,2.定义,(精确性定义),则称,无限趋近,存在,极限值为,时,从,的右侧,或称,无限趋近,时,的右极限存在,右极限值为,极限,1.定义,(描述性定义),设有函数,当,从,无限接近于,注,(1)记号,(2),完全可以认为,如果,时,从,左侧附近开始.,某常数,左侧无限趋近,则称,无限趋近,极限存在,极限值为,时,从,的左侧,或称,无限趋近,时,的左极限存在,或,左极限值为,设,在,的某左邻域内有定义,如果,对任给正数,不论多么小,总存在正数,当,时,恒成立,2.定义,(精确性定义),则称,无限趋近,存在,极限值为,时,从,的左侧,或称,无限趋近,时,的左极限存在,左极限值为,极限,后三种极限之间的关系,重要结论,例5.,设函数,求,解,因,故,不存在.,将六加一种自变量变化状态下,要求,的极限的精确性定义对比记忆!,作业题,2.习题二(A)4、5、6、7、8、9.,1.深刻理解函数极限的精确性定义.,
