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1、第一节 不定积分的概念及其线性法则,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的线性运算法则,四、直接积分法,引例 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(1,2),所求曲线方程为,定义：,一、原函数与不定积分的概念1.原函数,设 f(x)在区间 I 内有定义，若存在可导函数 F(x)使对每一个 xI 有,F(x)=f(x),或 dF(x)=f(x)dx，,则称 F(x)为 f(x)在区间 I 内的一个原函数.,例,关于原函数有以下三个问题：,1)f(x)满足什么条件,其原函数一定存在？,2
2、)若 f(x)有原函数,其原函数有多少个？,3)f(x)的全体原函数如何表示?,原函数存在定理,若 f(x)在区间 I 内连续,则在区间 I 内一定存在 f(x)的原函数.,简言之：连续函数一定有原函数.,若 f(x)有原函数,则 f(x)的原函数有无穷多个.,若 F(x)是f(x)的一个原函数,则 f(x)的全体原函数可表示为 F(x)+C.(C为任意常数),2.不定积分的定义：,若 F(x)是 f(x)在区间 I 内的一个原函数,则 f(x)在区间 I 内的全体原函数称为 f(x)在区间 I 内的不定积分,例1 求,例2 求,3.不定积分的几何意义,不定积分称为积分曲线族,且在横坐标相同的
3、点处每条曲线上的切线斜率相等都为f(x),即在横坐标相同的点处各切线相互平行.,y=F(x)为平面上的 一条曲线.,y=F(x)+C 为平面上的 一族曲线.,设 F(x)是 f(x)的一个原函数,则,函数 f(x)的原函数的图形称为积分曲线.,结论：,求不定积分的运算与微分运算是互逆的.,4.不定积分与微分(导数)的关系,由此根据微分公式可得积分公式.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,基本积分表,是常数);,说明：,例3 求积分,解,根据积分公式（2）,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个
4、函数之和的情况）,三、不定积分的线性运算法则,例4 求积分,解,四、直接积分法,直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积分公式,可以计算简单函数的不定积分.,解,解,解,4.求积分,解,5.求积分,解,6.求积分,解,7.求积分,解,8.求积分,解,9.求积分,解,解,说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形才能使用基本积分表.,在求 f(x)的所有原函数中,有时需要确定一个满足条件 y(x0)=y0 的积分曲线.即求通过点(x0,y0)的积分曲线.这个条件一般称为初始条件,它可以唯一确定积分常数 C 的值.,例5,解,故所求曲线方程为,例6,解,例7,解,注意:,1)导数是唯一的,但原函数不唯一.,2)任一初等函数都可求导数,且导数一般也为初等函数,但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示.,这些不定积分的原函数存在,但不能用初等函数来表示.,基本积分表,不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分是互逆关系,四、小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,练习题,练习题答案,
